matematikk.net

Trenger hjelp med dette integralet:

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}}dx$.... fant at $\frac{d}{dx}\left[sin^{-1}x\right] = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ og kan sikkert bruke dette

Prøvde å forenkle litt ved å sette $u = 1 - x^{2}$ slik at

$\int\frac{x^{2}}{u^{\frac{3}{2}}}dx = \int\frac{-u+1}{u^{\frac{3}{2}}}dx = -\int\frac{u}{u^\frac{3}{2}}dx + \int\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}dx$

Hvis jeg setter tilbake for $u$ får jeg:

$-\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx + \int\frac{1}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}}dx = -sin^{-1}x + \int\frac{1}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}}dx$

Så jeg har vel ikke kommet så langt. Vet ikke om jeg har gjort riktig.. Men klarer uansett ikke løse den siste. Noen tips?

La [tex]u=\arcsin(x) \Leftrightarrow x=\sin(u)[/tex]

Dermed blir [tex]dx=\cos(u) \ du[/tex]

[tex]\int\frac{x^{2}}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}} \ dx = \int\frac{\sin(u)^2}{\sqrt{(1-\sin^2(u))^{3}}} \cdot \cos(u) du[/tex]

Husk på at [tex]\cos^2(u)=1-\sin^2(u)[/tex]

[tex]\therefore \int \frac{\sin^2(u) \cdot \cos(u)}{\left ( \cos^2(u) \right )^{3/2}} \ du = \int \tan^2(u) \ \ du[/tex]