Parametrisering

[Vjb90]

Hei!
Trenger hjelp med en oppgave. Lenge siden jeg har drevet med dt, så husker jo nesten ingenting. Fint om noen kan forklare (med t-skje) dette for meg.

Oppgaven : la C være den rette linjen fra (-1,2,-2) til (1,2,2). Regn ut integralet x^2 + Y^2 + z^2

For å finne buedifferensialet må jeg da parametrisere C.
Og i følge fasit er r(t) = (t,2,2t) , hvorfor blir det det?!

[Nebuchadnezzar]

Du skal lage en rett linje fra $(-1,2,-2)$ til $(1,2,2)$. En måte å begynne å tenke på er at y ikke forandrer seg. Med andre ord må parametriseringen være på formen $r(t) = [ x(t), 2, z(t) ]$. Videre vet vi at $x(t_1) = -1$, $x(t_2) = 1$. En svært enkelt gjetning gir $x(t) = t$ for $t \in [-1,1]$. Siden $z(t)$ har samme fortegn, og alltid er dobbelt så stor kan en velge $z(t) = 2t$.

Merk at en kan løse problemet mye mer generelt, men som regel ser en alltid en frekk parametrisering vedd første øyenkast på slike oppgaver. Anta at du ikke klarer det. Da kan du sette opp at parametriseringen er på formen

$ \hspace{1cm}
r(t) = ( a t + b , c t + d , e t + g)
$

Videre vet vi at $r(t_1) = (-1, 2, -2)$ og $r(t_2) = (1, 2, 2)$. Hva $t_1$ og $t_2$ er vet vi ikke, men det spiller heller ingen rolle.
Vi er ute etter å bestemme koeffisientene $a, b, \ldots, g$. Ved å sette inn gir dette oss likningene
'
$
\hspace{1cm}
\begin{align*}
a t_1 + b & = -1 \\
c t_1 + d & = 2 \\
e t_1 + g & = -2 \\
a t_2 + b & = 1 \\
c t_2 + d & = 2 \\
e t_2 + g & = 2
\end{align*}
$

Merk at vi har to og to likninger som hører sammen. Eg $a t_1 + b = -1$ og $a t_2 + b = 1$. Ved å løse med hensyn på variablene får en

$
\hspace{1cm}
\begin{align*}
a & = \frac{2}{t_2 - t_1} \\
b & = \frac{ t_1 + t_2}{t_1 - t_2 } \\
c & = 0 \\
d & = d \\
e & = 2a \\
f & = 2b
\end{align*}
$

Ved å sette inn kan du selv sjekke at $r(t_1) = (-1, 2, -2)$ og $r(t_2) = (1, 2, 2)$. Herfra er det bare å sette inn noen passelige verdier for $t_1$ og $t_2$.
Dersom vi for eksempel setter $t_1 = 0$ og $t_2 = 1$ fås

$
r(t) = (2t - 1 , 2 , 4t - 2)
$

Mens valget $t_1 = -k$ og $t_2 = k$ gir

$
r(t) = (t/k , 2, 2t/k)
$

Hvor en ser at $k = 1$ gir den enkleste parametriseringen. Moralen er at det ikke eksisterer en unik parametrisering, men en kan velge litt slik en vil.
Svaret blir like riktig såfremt parametriseringen fungerer. Ofte velges $t_1$ og $t_2$ før en løser likningssettet med hensyn på konstantene, siden $t_1$ og $t_2 \neq t_1$ kan velges fritt som vist ovenfor. Men som nevnt, det finnes ikke noen gale eller mer rette $t_1$ og $t_2$, bare noen som er litt penere. Som regelen trenger en ikke engang løse noen likningsset fordi en allerede klarer å se svaret.

[Vjb90]

Tusen takk for er godt og forklarende svar!