matematikk.net

Hvorfor blir det likt svar på disse bestemte integralene?

[tex]\int_{1}^{2}\sqrt{x} = \int_{0}^{1}2x\sqrt{x^{2}+1} = 1,21[/tex]

Fordi arealet under kurven [tex]f(x) = \sqrt{x}[/tex] fra [tex]x=1[/tex] til [tex]x = 2[/tex] er likt arealet under kurven [tex]g(x) = 2x\sqrt{x^2+1}[/tex] fra [tex]x = 0[/tex] til [tex]x = 1[/tex]

Det har jeg forstått men er det eneste grunnen? Virker litt for enkelt...

gkt wrote:Det har jeg forstått men er det eneste grunnen? Virker litt for enkelt...

Tegn funksjonene i geogebra.


Du kan sikkert lage x antall funksjoner med et areal på 1,22

Enkelt? Det finnes uendelig mange kombinasjoner av bestemte integral som er kliss like hverandre.

Føler dere ikke helt klarer å svare på spørsmålet til trådstarter. På ene siden så representerer et integral arealet under en graf/kurve.
Intuitivt sett eksisterer det mange objekter som har likt areal uten å være like. Sannsynligvis lurer trådstarter på hvordan en viser at integralene har lik verdi
uten å beregne integralene. Kruxet her er å bruke substitusjon. Grunnen er at substitusjon er en arealbevarende transformasjon.

Klarer du å finne en substitusjon $x = g(u)$ slik at $\int_0^1 \sqrt{x} \,\mathrm{d}x = \int_1^2 2u \cdot \sqrt{ 1 + u^2 } $ ?

Selvsagt er det trivielt å bestemme integralet i dette tilfellet, men ofte er det langt enklere å vise at to integraler er like enn å finne den eksakte verdien.