Blir et noe langt svar, men håper jeg kan gi deg noen svar om du gidder å lese litt =)
Grenseverdier handler om reisen mot et punkt, hva som skjer i selve punktet er faktisk irrelevant.
Et trivielt eksempel er gitt under
$
\hspace{1cm}
f(x)
=
\left\{
\begin{array}{ccr}
x + 1 & & x < 0 \\
0 & & x = 0 \\
x - 1 & & x > 0
\end{array}
\right.
$
Anbefaler deg å tegne figuren ovenfor. La oss studere hva som skjer når vi nærmer oss origo (0).
Hvis vi følger funksjonen fra den negative siden mot den positive (altså for $x<0$) så vil funksjonen oppføre seg som
$x + 1$. Grenseverdien blir altså
$ \hspace{1cm}
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1
$
Pluss tegnet betyr altså at vi går fra venstre mot høyre til vi kommer til punktet. Tilsvarende om vi nærmer
oss punktet fra motsatt side (fra høyre mot venstre) så har vi
$ \hspace{1cm}
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (x - 1) = -1
$
Selv om $f(0) = 0$. Hvor har du at grensen skal gå mot null? Grenseverdier er enkle å sjekke hva de går mot. Du ønsker undersøke
$
\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\log ( x + 1)}
$
Jeg definerer nå $f(x) = x / \log(1+x)$. For å teste hva grenseverdien burde gå mot kan du sette inn $f(0.1)$, $f(0.001)$ osv. Du tester altså
punkter hårfint større enn $0$. Merk igjen at grenseverdier IKKE bryr seg om verdien i punktet. Om verdien i punktet er udefinert spiller ingen rolle
så lenge vi går mot en annen verdi når vi nærmer oss. Å nærme seg betyr konkret at vi velger $x$-verdier som er nærmere og nærmere punktet.
Dersom en har en brøk hvor teller og nevner går mot null hver for seg, er det ikke sikkert at uttrykket går mot null. Et trivielt eksempel er
$
\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$
Eller
$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$
Eller
$
\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x
$
Som nevnt dersom en har et $0/0$ uttrykk eller $\infty / \infty$ så kan en betrakte det som et kappløp mellom teller og nevner.
Hva grenseverdien går mot kommer helt ann på hvor rastk teller og nevner forandrer seg relativt til hverandre.
Grenseverdien ovenfor er veldig kjent. Men på videregående har dere ikke lært nok til å bestemme grensen. Da må du enten lese
deg opp på taylor-rekken il $\log(x + 1)$ eller enda enklere l'hopital.
La $f$ og $g$ være funksjoner slik at $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(a) = \infty$ eller $f(a) = g(a) = 0$. Da er
$
\hspace{1cm}
\lim_{ x \to a} \frac{ f(x) }{ g(x) }
= \lim_{ x \to a} \frac{ f'(x) }{ g'(x) }
$
Med andre ord, dersom du skal bestemme en grenseverdi som er en brøk, kan du derivere teller og nevner hver for seg gitt at både teller og nevner går mot null eller uendelig.