Mathematica wrote:Kjemikern wrote:Mathematica wrote:Hei, lurte på om det er noen som kan hjelpe meg med denne oppgaven. Har ingen anelse om hvor jeg skal starte, eller hvordan jeg skal gjøre den.
Takk på forhånd!
Vis at [tex]sin x\geq x-\frac{x^2}{\pi }\: hvis \: 0\leq x\leq \pi .[/tex]
Hint:Funksjonen [tex]f(x)=sin x[/tex], og parablen [tex]g(x)=x-\frac{x^2}{\pi}[/tex] har begge en vertikal asymmetri rundt aksen [tex]x=\frac{\pi }{2}[/tex].
Takk for svar, men jeg kommer fortsatt ingen vei...
Som jeg sa så er funksjonen [tex]f(x)=sin x[/tex], og parablen [tex]g(x)=x-\frac{x^2}{\pi}[/tex] har begge en vertikal asymmetri rundt aksen [tex]x=\frac{\pi }{2}[/tex]. Da holder det å bevise det for [tex]0\leq x\leq \frac{\pi }{2}[/tex]
Grafen til den dervierte [tex]g'(x)[/tex] er linjen som går gjennom punktene [tex](0,1)[/tex] og [tex](\frac{\pi }{2},0).[/tex]
Siden grafen til den deriverte [tex]f'(x)=cos(x)[/tex] er konkav på [tex]\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ][/tex] og går gjennom de samme punktene som [tex]g'(x)[/tex] kan vi konkludere med at
[tex]g'(x)\leq f'(x)\, for \, alle\, x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ].[/tex]
Siden [tex]f(0)=g(0)=0[/tex] kan vi skrive:
[tex]g(x)=\int_{0}^{x}g'(t)dt\, og\, f(x)=\int_{0}^{x}f'(t)dt;[/tex]
Da vi integrerer dette får vi vår ønsket ulikhet rett over.
Dermed er dette bevist.