matematikk.net

Man har et fullstendig kvadrat dersom c=(b/2)^2. MEN dersom c ikke er lik (b/2)^, da bruker man metoden med fullstendig kvadrat for å prøve å faktorisere? Dette ga kanskje ikke mening, derfor jeg er så forvirret..

Har du en oppgave du jobber med? Kunne du ha vist oss/skrevet ned oppgaveteksten?

Som du sier kan noen uttrykk faktoriseres direkte med kvadratsetningene, f.eks. er [tex]x^2+10x+25=x^2+2\cdot x \cdot 5+5^2=(x+5)^2[/tex].

Men andre uttrykk er mer kompliserte. Som eksempel tar jeg [tex]x^2+2x-3[/tex]. Siden [tex](\frac{2}{2})^2=1[/tex] ikke er det samme som [tex]-3[/tex] kan vi ikke faktorisere direkte.

For å lage et fullstendig kvadrat må det siste leddet være [tex]c=+1[/tex]. Vi ordner dette ved å legge til den [tex]+1[/tex] vi trenger, men da må vi samtidig trekke fra [tex]-1[/tex] for å ikke endre uttrykket, slik:
[tex]x^2+2x-3=x^2+2x+1-1-3[/tex]

(Noen tar bare direkte at [tex]-3=+1-4[/tex], det funker like bra.)

Så kan vi bruke at [tex]x^2+2x+1=(x+1)^2[/tex], og samtidig trekke sammen [tex]-1-3=-4[/tex], så vi går et steg videre:
[tex]x^2+2x-3=x^2+2x+1-1-3=(x+1)^2-4[/tex]

Dette uttrykket er bra nok i mange tilfeller, men hvis du ønsker å faktorisere uttrykket må du bruke konjugatsetningen. Jeg tar en substitusjon og lar [tex]x+1=y[/tex], da blir uttrykket [tex](x+1)^2-4=y^2-4=(y-2)(y+2)[/tex], og jeg substituerer tilbake [tex](x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)[/tex].

(Du kan også ta direkte [tex](x+1)^2-4=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)[/tex])

Hele faktoriseringen blir dermed:
[tex]x^2+2x-3=x^2+2x+1-1-3=(x+1)^2-4=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)[/tex]

Dette er selvsagt mye enklere å gjøre ved hjelp av løsningsformelen for andregradsligninger og faktoriseringsformelen for andregradsuttrykk, men du skal kunne denne metoden også.

MERK: Alle andregradsuttrykk kan tas til formen [tex](x+1)^2-4[/tex], men ikke alle kan faktoriseres. Det kommer an på om uttrykket har noen nullpunkter (dvs. om andregradsligninga kan løses).