matematikk.net

Har ingen anelse hvordan jeg skal løse dette, vet at jeg skal bruke implisitt derivasjon, men lenger kommer jeg ikke


Anta at en funksjon y tilfredstiller likningen

4x=y(x)*e^(y(x))




på et intervall. Hvis vi videre antar at y(0)=0, finn y′′(0). Svaret skal gis som et eksakt, rasjonelt tall. Svarfeltet finner du under bildet nedenfor.
Kommentar:
Hvis alle koeffisientene er 1 er denne likningen tilfredstilt av den såkalte Lambert W-funksjonen. Som en ser av bildet under må en være litt forsiktig når en definerer denne, siden (hele) kurven beskrevet av x=yey ikke er grafen til en funksjon (det finnes flere y-verdier til hver x i intervallet (−e−1,0) )

Hei,

Det er helt riktig å starte med implisitt derivasjon.
Dersom jeg har gjort rett vil du ende opp med 2 likninger som du trenger:

[tex]4x = y(x)e^{y(x)}[/tex]

Deriverer først en gang og får:

[tex]4 = {y}'e^y +ye^yy'[/tex]

Deriverer igjen og får:

[tex]0 = e^y[y''(1+y) + y'y' + y'(1+y)][/tex].

Vi skal altså finne [tex]y''(0)[/tex] og vi vet at [tex]y(0) = 0[/tex].

Den første (deriverte likningen) ser da slik ut:

[tex]4 = y'(0)[/tex]

Dette kan da brukes i siste likningen til å finne

[tex]y''(0) = 20[/tex]

Takk for hjelpen!