matematikk.net

Hei har denne her oppgaven som jeg ikke forstår løsingsforslaget på.

$\lim_{x \to 0+} \ln{(x)}\ln{(x+1)}$ .. Siden grensen er "$\left[0*\infty\right]$" så prøver jeg med L'Hopitals regel

Løsningsforslaget sier man skal skrive om til $\lim_{x \to 0+}\frac{ln(x+1)}{\frac{1}{ln(x)}}$ så etter å ha derivert teller og nevner èn gang konkluderer LF med at $\lim_{x \to 0+} \frac{x(ln(x))^{2}}{x+1} = 0$, siden $\lim_{x \to 0+}x(ln(x))^{2} = \left(\lim_{x \to 0+}x^{\frac{1}{2}}ln(x)\right)^{2} = 0$ .. Men så vidt jeg kan se blir dette også "$\left[0*\infty\right]$" ??


Jeg prøvde dette:

$\lim_{x \to 0+} \ln{(x)}\ln{(x+1)} = \lim_{x \to 0+} \frac{ln(x)}{\frac{1}{ln(x+1)}} = \lim_{x \to 0+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-ln(x+1)}{(ln(x+1))^{2}}} = \lim_{x \to 0+}-\frac{ln(x+1)}{x}$ ... Gir $\left[\frac{0}{0}\right]$ så bruker L'hopitals igjen:

$\lim_{x \to 0+} \frac{-\frac{1}{1+x}}{1} = -1$ ... Men det blir vel feil??

Noen som har noe tips til ka eg kan gjøre

Mulig jeg er på tynn is her, men prøver meg.

[tex]f(x) = \ln{x}\ln{(x+1)}[/tex]

[tex]g(x) = \mathrm{e}^{f(x)} = x^{\ln{(x+1)}}[/tex]

[tex]\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} \ln{(g(x))}[/tex]

[tex]\lim_{x\to 0} g(x) = 0^{\ln{1}} = 0^0 = 1[/tex]

[tex]\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} \ln{(g(x))} = \ln{1} = 0[/tex]

$0^0$ blir ikke nødvendigvis 1. Men det kommer ann på hvor raskt de ulike leddene går mot 0. Fremgangsmåten din ser derimot riktig ut og med litt mer arbeid kommer du i mål på ordentlig. Ellers ville jeg bare ført det kort og greit slik

$\lim_{x \to 0} \log x \log( 1 + x) = \lim_{x \to 0} \log x \left( x + O(x^2) \right) = \lim_{x \to 0} x \log x = 0$.

Tanken er at ved å skrive ut taylorrekken til $\log (1+x)$ får vi masse ledd som er polynomer. Grenseverdien blir da ledd på formen $x^n \cdot \log x$. Siden $x^n > x^{n+1}$ når $x$ blir liten holder det å betrakte det største leddet $x \log x$. Men det er ikke vanskelig å vise at $x^n \log x$ går mot null for alle $x$, det følger direkte fra l'hopital. Ellers kan en og bruke induksjon or å vise at $x^n \log x$ går mot null, det er kanskje kulest.

Hallapaadeg: virker som du bruker l'hôptial feil, eller hvertfall deriverer feil

$
\hspace{1cm}
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \log x \log ( 1 + x)
& = \lim_{x \to 0} \frac{\log x}{ 1 / \log ( 1 + x)} \left[ \frac{0}{0} \right] \\
& = - \lim_{x \to 0} \frac{ [\log ( 1 + x)]^2}{ x/(1+x) } \left[ \frac{0}{0} \right] \\
& = - 2 \lim_{x \to 0} (1 + x) \log (1+x) \\
\end{align*}
$

Hvor jeg overlater de algebraiske krummspringene til deg. Deriveringen regner jeg med du kan.. =)

zell wrote:
[tex]\lim_{x\to 0} g(x) = 0^{\ln{1}} = 0^0 = 1[/tex]

Kanskje litt tvilsomt å bruke den litt "kontroversielle" definisjonen $0^0=1$ ?

Litt interessant link angående dette: http://math.stackexchange.com/questions ... er-is-00-1

plutarco wrote:

zell wrote:
[tex]\lim_{x\to 0} g(x) = 0^{\ln{1}} = 0^0 = 1[/tex]

Kanskje litt tvilsomt å bruke den litt "kontroversielle" definisjonen $0^0=1$ ?

Litt interessant link angående dette: http://math.stackexchange.com/questions ... er-is-00-1

Absolutt enig i det!

Nebuchadnezzar wrote: Hallapaadeg: virker som du bruker l'hôptial feil, eller hvertfall deriverer feil

Ser det nå ))

takk for svar alle.