matematikk.net

Har en gammel eksamensoppgave fra ntnu jeg har prøvd å løse. Jeg har ikke fasit å lurte på om noen kan se om jeg har gjort riktig eller er helt på jordet..

Et vannkar fremkommer ved å dreie kurven
$x = \sqrt[4]{\sin{y}} \text{, for } 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
om y-aksen(x og y er i desimeter).

Sett opp et integral(uten å regne ut integralet) for vannvolumet når vanndybden midt i karet er h.

Karet fylles med vann. Vannmengden som strømmer ned i karet per tidsenhet er konstant og lik 2 liter per minutt. Hvor fort øker vanndybden $h$ når $h= \frac{\pi}{6}$ dm?

Jeg satte opp integralet for volum

$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2}dy = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sqrt[4]{\sin{y}} \right)^{2}dy = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\sin{y}}\right)dy$

noterer at $dV = 2$ liter/minutt, og vanndybde $h = \frac{\pi}{6}$

Hvis jeg deriverer volumformelen mhp. h får jeg

$\frac{dV}{dh} = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\sin{y}}\right)dy \Leftrightarrow \frac{dV}{dh} = \pi\sqrt{\sin{h}}$

Setter inn verdier og løser for dh og får:

$dh = \frac{dV}{\pi\sqrt{\sin{h}}} = \frac{2}{\pi\frac{1}{2}} = \frac{4}{\pi} \approx 1.27$ desimeter/minutt

Hvis noen gidder å se er jeg veldig takknemlig.

[tex]V=\pi\int_0^h\sqrt{sin(y)}\,dy[/tex]

[tex]\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}*\frac{dh}{dt}[/tex]

[tex]\frac{dV}{dt}=\pi*(\sqrt{sin(h)})*\frac{dh}{dt}[/tex]

[tex]2=\pi*(1/\sqrt{2})*\frac{dh}{dt}[/tex]

[tex]\frac{dh}{dt}=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\,\,(dm/min)[/tex]

Hjertelig takk!