matematikk.net

Hei, jeg leser for tiden til eksamen i matematikk 4D ved NTNU, pensumboka er "Advanced engineering mathematics", 10. utgave, av Kreyzig.

Jeg leser for tiden kapittel 9.7 der det er et bevis for at gradienten er en vektor. I boken står det "But to prove that it actually is a vector, since it is defined in terms of components depending on the Cartesian coordinates, we must show that grad f has a length and direction independent of the choice of those coordinates." Hva betyr egentlig dette? Er det ikke opplagt at gradienten er en vektor?

Det er en intrinsikk egenskap ved vektorer at de ikke endrer seg under koordinattransformasjoner, altså at lengden og retningen ikke endres når man beskriver vektoren i et annet koordinatsystem. Så for å vise at gradienten er en vektor, må man vise at retning og lengde ikke endres under koordinattransformasjoner.

Det er ikke uten videre opplagt at gradienten ikke endres under koordinattransformasjoner, siden den involverer derivasjon mhp. koordinatene.