matematikk.net

Hei
Jeg har en elev som stiller veldig spennende spørsmål, og i går stilte han et spørsmål om betydning av a1, a2 osv i en geometrisk rekke som brukes for å løse annuitetslånoppgaver.

For å illustrere problemet mitt, har jeg laget denne enkelte oppgaven:

I dag låner Tom 9000 kr. Lånet betales tilbake ved begynnelse av de neste 3 år. Rente er 1%. Hvis Tom vil betale tilbake den samme summen hvert år, hvor stor er terminbeløpet da?

Løsning:

Det er typisk i disse slags oppgaver å sette x som terminbeløp. Derfor er a1 = x/1.01, a2 = x/(1.01)^2 og a3 = x/(1.01)^3

Summen av den geometriske rekka er S3= a1 +a2 +a3
= x/1.01+ x/(1.01)^2 + x/(1.01)^3
= a1 * (k^n-1)/(k-1)
Kvotienten (k) = 1/1.01, og S3= 9000.
Når jeg løser likningen, får jeg x = 3060kr.

Så langt så godt.

Når jeg regner ut a1, a2, og a3, får jeg a1= x/1.01
= 3060/1.01 = 3030kr

a2 = 3000 og a3 = 2970. Og igjen, som kontroll, legger jeg a1, a2 og a3 sammen for å få 9000.

Ut fra dette tenker jeg at a1 er avdraget som betales det første året, a2 er avdraget som betales det andre året, og a3 er avdraget som betales det treje året.

Da må x-a1= r1 = rente som betales i termin 1, dvs. kostnad til å låne summen a1 over ett år (r1=30 kr)
x-a2= r2 = rente som betales i termin 2, dvs. kostnad til å låne summen a2 over to år (r2 = 60 kr)
x-a3= r3 = rente som betales i termin 3, dvs. kostnad til å låne summen a3 over tre år (r3=90 kr)

Men det er her hvor det blir avvik med teorien. I teori, bør avdraget som andel av terminbeløpet øke over tid, ikke minke. I like måte bør rente minke, ikke øke. Er min tolkning av teorien feil? Hvis ja, har a1, a2 og a3 noen "fysisks" betydning?

I sluttverdi (vanligvis sparing) er a1 det siste beløpet du satt inn, og med nåverdi så er det det første beløpet du setter inn a1 når du regner med geometriske rekker, right? Oppgaveteksten er litt uklar, men a1 = x/1,01 a2 = x/1,01^2 og a3 = x/1,01^3. Terminbeløpene blir da like store. Jeg la inn dette i min kalkulator på excel, og det kan nok gi en bedre forklaring
https://gyazo.com/2019c93f5d332fcf52c7c2c53f4e78b9

Hei og takk for hjelpen.

Alt regnes i nå-verdier. Så ja, når jeg finner a1, er den likt x/1.01 (tiden er målt etter utlån dato, ikke i fohold til fremtidig beløp som i sparingsoppgaver - i alle fall, det tror jeg).

Tabellen din viser mitt problem veldig godt. Ifølge tabellen din (som jeg er helt enig med) er avdraget det første året 2970 kr. Men da hva er a1, særlig når vi vet at a1 regnes ut fra informasjon fra det første året?
a1 = x/1.01 = 3060kr/1.01 = 3030kr

I følge din tabell er 3030 kr avdraget det siste året. Så hvordan kan a1 beskriver det siste året?

a1 er terminbeløpet, og er hele tiden 3060 kr.

Er ikke x terminbeløp? Hvis a1 var terminbeløp, da
a2 = a1 og
a3 = a1
og da blir
a1+a2+a3 =a1+a1+a1= 3*3060 = 9 180kr.

Men det kan ikke stemme. S3 = a1+a2+a3 = 9000. a1, a2 og a3 er alle i nåverdi.

x, mente jeg. Du betaler totalt 180 kr i rente, og 9180 kr totalt. da blir det totale innbetalte avdragene 9 000.

Riktig. Men det opprinnelige spørsmål står fremdeles: hva er den "fysiske" betydning av a1, a2 og a3?