matematikk.net

Hei.
Jeg sliter veldig med en oppgave. Har lagt ved den delen av løsningsforslaget jeg ikke forstår.
Kan noen forklare nærmere hva de har gjort fra del 2 til del 3? Eller hva slags regler de har brukt? Jeg ser overhodet ikke hva som blir gjort her

Hva er greia med [tex]\frac{2}{3}[/tex] og [tex]\frac{4}{9}[/tex]? Hvorfor gjør de det, og hvordan har de kommet fram til det? Og hvorfor opphøyer de i [tex]\frac{3}{2}[/tex] plutselig igjen?
Og hvordan har de kommet fram til [tex]\frac{13}{4}[/tex] i siste delen?

Første overgang, ville du klart å integrere $\sqrt{x}$? Kanskje du kan bruke en substitusjon til å skrive om integralet til denne formen? Siste overgang er algebra de bare setter inn tallverdiene og overlater mellomregningene til deg. Kanskje ikke du ser det uten å regne, men med en gang du faktisk prøver å sette inn tallene burde du se hvor $13/4 = 1 + 9/4$ kommer fra.

^Nå ble jeg bare mer forvirret, for å være ærlig.
Når man integrerer [tex]\sqrt{x}[/tex], blir det [tex]\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}[/tex]?
Men hva med det?
Og jeg skjønner fortsatt ikke hvor 13/4 kommer fra i siste overgang.

Har ikke så bra mattekunnskaper, så fint om du utdyper litt mer.

Stemmer! og å integrere $\sqrt{ 1 + 9x/4}$ er ikke voldsomt forskjellig fra å integrere $\sqrt{ x }$. Siden $(\frac{2}{3} x^{3/2})' = \sqrt{x} $ kan det
være rimelig å tippe at det blir det samme for $\sqrt{ 1 + 9x/4}$ derivasjon gir derimot $\left( \frac{2}{3}( 1 + \frac{9}{4} x)^{3/2} \right)' = \frac{9}{4} \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \sqrt{ 1 + \frac{9}{4} x} = \frac{9}{4} \sqrt{ 1 + \frac{9}{4} x }$ som ikke er akkuratt det vi ønsker. Men merk vi bommet bare med en konstant! Så ved å gange med $4/9$ fås

$
\left( \frac{4}{9}\frac{2}{3}( 1 + \frac{9}{4} x)^{3/2} \right)' = \sqrt{ 1 + \frac{9}{4} x }
$

Ved å integrere begge sider fås

$
\int \sqrt{ 1 + \frac{9}{4} x\, } \, \mathrm{d}x = \frac{4}{9}\frac{2}{3}\left( 1 + \frac{9}{4} x\right)^{3/2}
$

Alternativt kunne en brukt substitusjon med $u \mapsto 1 + 9x/4$, men føler metoden over gir mer intuisjon om hvorfor det er rett. Uansett så er $\mathrm{d}u = (9/4) \mathrm{d}x$
eller $\mathrm{d}x = \frac{4}{9} \mathrm{d}u$ så

$
\int \sqrt{ 1 + \frac{9}{4}x } \,\mathrm{d}x = \int \sqrt{ u } \frac{4}{9}\mathrm{d}u = \frac{4}{9} \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{4}{9}\frac{2}{3}\left( 1 + \frac{9}{4} x\right)^{3/2}
$

Grunnen til at de skriver $ \frac{4}{9}\frac{2}{3}$ er bare for å vise hva som blir gjort, nemlig substitusjon, eller at en kjenner igjen integralet av $\sqrt{x}$. Substitusjon bør en være vant med på universtetet og hvis ikke er det en ypperlig tid å lese seg opp. Deretter er det bare å sette inn $x = 0$ og merke seg at $1^{3/2} = 1$ og $1 + 9/4 = 13/4$.

Takk skal du ha! Skjønte det nå