matematikk.net

En funksjon er gitt ved B(x)=-6x^2+120x+2400, x∈[0, 15]

a) Finn både toppunktene og bunnpunktene til funksjonen B uten hjelpemidler.

Er det noen som vet hvordan man skal finne bunnpunktene til denne funksjonen? Deriverer man B(x) får man B´(x) = -12x+120, når jeg tegner fortegnlinje får jeg kun toppunkt x=10 og ingen bunnpunkter. Fasiten gir svar; siden B er definert i et lukket intervall, ser vi av fortegnslinja til B' at vi har bunnpunkter forbådex=0 og x=15. Er det noen som kan forklare dette?

På forhånd tusen takk

For x = 15 og x = 0 har B ett randpunkt. Randpunkt kan også være ekstremalpunkt. Siden det høyeste x-leddet er negativt antar jeg at det er korrekt at det er bunnpunkt, gitt at begge har samme y-verdi. De er lokale, siden funksjonen vil gå mot minus uendelig utenfor definisjonsområdet. Toppunktet derimot, er globalt. Med det har vi at B er på sitt største, også om vi tar med hele funksjonen. Dette kan du finne ved hjelp av derivasjon, men for å finne de lokale må du teste ytterpunktene og finne hvilket av de som har lavest/høyest y-verdi.

Det du finner når du setter $B'(x) = 0$ er punkter der stigningstallet er 0. Disse er LOKALE ekstremalpunkter, inntil annet er bevist.

Betrakt grafen:



Punkt C fant du ved derivasjon som toppunkt. Det er et LOKALT toppunkt. Men, siden det ikke finnes noen andre punkter som er høyere, så er det også GLOBALT toppunkt.

Du fant ingen lokale bunnpunkter ved derivasjon, og det er greit. Men da er bunnpunktet simpelthen det laveste punktet på grafen, i det aktuelle intervallet. Her er det i $x = 0$ vi finner det laveste. Ingen steder i $x\in[0, \ 15]$ finner vi noe lavere. Dermed er punktet $(0, B(0))$ bunnpunktet.

Hvorfor fasiten sier at $x = 15$ gir et annet bunnpunkt vet jeg ikke. Det er mulig de teller begge fordi de ligger i ytterkantene. Men slik jeg ser det er det $(0, B(0))$ som er det laveste punktet.