matematikk.net

Hei, jeg prøver å få en intuitiv forståelse for Fouriertransformasjonen. Jeg kom over et innlegg på Quora, som jeg tror er et veldig godt svar, men det er et punkt i svaret jeg helt ikke forstår. Argumentet går slik: Du har en vei i planet (signalet ditt), som du ønsker å fremstille som en sum av mange forskjellige sykler med varierende frekvens og radius. For å finne denne summen velger brukeren som lagde svaret å ta [tex]\int_{-\infty}^{\infty}R(\omega)e^{iwx} \,\mathrm{d}\omega[/tex]

men jeg skjønner IKKE hvor [tex]d(\omega )[/tex] kommer inn, hvertfall om jeg tolker integralet som en Riemannsum. Noen som ser hva jeg overser?

Jeg pleier å tenke på fouriertransformasjonen på følgende måte: Vi ønsker å representere et gitt signal (funksjon) som en "vektet" sum (integraler kan tolkes som en "kontinuerlig sum") av planbølger av skarpt bestemte frekvenser. Så planbølgene $e^{iwx}$ er på en måte byggesteinene som man setter sammen til et mer komplisert signal som kan ha varierende frekvens og eventuelt være lokalisert (bølgepakke) eller ha uendelig periode. Vi kan tolke R(w) som en tetthet, slik at R(w)dw blir "mengden" av planbølger med frekvens mellom w og w+dw som man må tilsette. Hvis signalet i utgangspunktet er en planbølge, vil R(w) bli en (Dirac) deltafunksjon, siden det kun er én bestemt frekvens som skal til for å representere signalet. Fouriertransformen blir dermed en slags generalisering av Fourierrekka, der signalet ikke lenger behøver å ha en endelig periode. (Når signalet ikke lenger har en endelig periode behøver vi flere planbølger for å få til en representasjon, dermed må vi integrere istedenfor å summere over skarpt bestemte frekvenser.)