matematikk.net

Hvordan løser man en likning på formen x^3=4+15x

Setter pris på hjelp

Gjest wrote:Hvordan løser man en likning på formen x^3=4+15x

Setter pris på hjelp

Faktoriser og bruk formelen for andregradsuttrykk.

[tex]x^3=4+15x[/tex]
[tex]x^3-15x-4=0[/tex]
Faktoriser(eventuelt bruk polynomdivisjon og finn et nullpunkt ved prøving og feiling):
[tex](x-4)(x^2+4x+1)=0[/tex]
Da har vi funnet at den ene løsningen for x er: [tex]x=4[/tex]
Bruk formelen for andregradslikning på den andre faktoren(a=1,b=4,c=1)
Da finner du løsningene: [tex]x=\sqrt3-2[/tex] og [tex]x=-2-\sqrt3[/tex]

For denne likningen har vi derfor løsningene:
[tex]x=4[/tex], [tex]x=\sqrt3-2[/tex] og [tex]x=-2-\sqrt3[/tex]

Tja, det finnes vel flere måter å angripe den på. En måte er å benytte seg av Cardanos formel. Men ved den metoden finner man den positive roten til utrykket.
[tex]\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{-121}-2}=\sqrt[3]{11i+2}-\sqrt[3]{11i-2}[/tex]

Først må vi huske at [tex]i^2=-1[/tex]
[tex](a+bi)^3=11i+2\Leftrightarrow a^3+3a^2bi+3a(bi)^2+(bi)^3=11i+2\Leftrightarrow a^3-3ab^2+i(3a^2b-b^3)=11i+2[/tex]

Det må bety at parentes 1 må værel lik 2 og den andre med i må være lik 11 fordi 2+i*11=11i+2
Ved substitusjon av b=1 og a=2 ser vi at det stemmer fordi [tex](2^3-(3*2*1^2))+i(3*2^2*1-1^3)=2+11i[/tex] Dette betyr at 2+i må være en tredjerot av 11i+2
[tex]\sqrt[3]{11i+2}=2+i[/tex] og [tex]\sqrt[3]{11i-2}=-2+i[/tex]
Dermed får vi følgende utrykk: [tex]x=\sqrt[3]{11i+2}-\sqrt[3]{11i-2}=(2+i)-(i-2)=2+2+(i-i)=4[/tex]

Drezky wrote:Tja, det finnes vel flere måter å angripe den på. En måte er å benytte seg av Cardanos formel. Men ved den metoden finner man den positive roten til utrykket.
[tex]\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{-121}-2}=\sqrt[3]{11i+2}-\sqrt[3]{11i-2}[/tex]

Først må vi huske at [tex]i^2=-1[/tex]
[tex](a+bi)^3=11i+2\Leftrightarrow a^3+3a^2bi+3a(bi)^2+(bi)^3=11i+2\Leftrightarrow a^3-3ab^2+i(3a^2b-b^3)=11i+2[/tex]

Det må bety at parentes 1 må værel lik 2 og den andre med i må være lik 11 fordi 2+i*11=11i+2
Ved substitusjon av b=1 og a=2 ser vi at det stemmer fordi [tex](2^3-(3*2*1^2))+i(3*2^2*1-1^3)=2+11i[/tex] Dette betyr at 2+i må være en tredjerot av 11i+2
[tex]\sqrt[3]{11i+2}=2+i[/tex] og [tex]\sqrt[3]{11i-2}=-2+i[/tex]
Dermed får vi følgende utrykk: [tex]x=\sqrt[3]{11i+2}-\sqrt[3]{11i-2}=(2+i)-(i-2)=2+2+(i-i)=4[/tex]

Husk at vi er på vgs-nivå da

Takk. Det ble så mye klarere nå

Dersom et polynom har en heltallsløsning (- 1, 0, 1 osv) må denne løsningen være delelig på konstantleddet.
Polynomet ditt er $P(x) = x^3 - 15x - 4$ med andre ord er alle mulige heltalløsninger $(-4, - 2 , - 1 , 1 , 2 , 4)$ herfra er
det bare å sjekke om noen av disse gir null ved innsetning.

Alternativt kan en ha en faktoriserings-trollmann i magen

$
\begin{align*}
x^3 + \color{blue}{0} \color{green}{- 15x} - 4
& = \overbrace{x^3 \color{blue}{+ 4x^2} \color{green}{ + x}}^{A} \color{blue}{-} \overbrace{\color{blue}{4x^2} \color{green}{- 16x} - 4}^{B} \\
& = \overbrace{\color{red}{x}\color{purple}{ ( x^2 + 4x + 1)}}^{A} \color{red}{-} \overbrace{\color{red}{4}\color{purple}{ (x^2 + 4x + 1)}}^{B} \\
& = \color{red}{(x - 4)}\color{purple}{(x^2 + 4x + 1)}
\end{align*}
$