matematikk.net

Jeg er gitt grensen:

[tex]\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{sin(2x)-2x+y}{x^3+y}[/tex]

Jeg evt at L'Hopital ikke vil fungere, men jeg ser ikke ellers hvordan gå fram.
Kan man alt. prøve seg ved å se på x-aksen, også y-aksen for seg selv?

Gjest wrote:Jeg er gitt grensen:

[tex]\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{sin(2x)-2x+y}{x^3+y}[/tex]

Jeg evt at L'Hopital ikke vil fungere, men jeg ser ikke ellers hvordan gå fram.
Kan man alt. prøve seg ved å se på x-aksen, også y-aksen for seg selv?

Det er ikke gitt at grensen eksisterer. Dersom du klarer å finne to veier mot origo slik at grenseverdiene langs disse blir forskjellige, har du vist at grensen ikke fins.

Så det du selv foreslår vil fungere godt i dette tilfellet.

Jeg gjør dermed følgende:

Når den nærmer seg 0 langs y-aksen:

[tex]\lim_{(0,y)\rightarrow (0,0)}\frac{sin(2x)-2x+y}{x^3+y}=\frac{0-2\cdot 0+y}{o^3+y}=\frac{y}{y}=1[/tex]

Når den nærmer seg 0 langs x-aksen:

[tex]\lim_{(x,0)\rightarrow (0,0)}\frac{sin(2x)-2x+y}{x^3+y}=\frac{sin(2x)-2x+0}{x^3+0}=\frac{sin(2x)-2x}{x^3}[/tex]

Jeg ser ikke helt hva jeg skal gjøre med dette uttrykket jeg står igjen med her?

Likevel skjønner jeg at dersom de to grenseverdiene gir ulikt resultat, så betyr det at grensen ikke finnes.

Du har jo her et 0/0-uttrykk, så da er det bare å bruke L´Hopital flere ganger helt til du får noe vettugt.

Jeg brukte L'Hopitals regel tre ganger, og fikk [tex]-\frac{4}{3}[/tex]. Stemmer dette??
Dermed vet vi at grensen ikke finnes fordi de to vi beregnet gir ulike svar.

Gjest wrote:Jeg brukte L'Hopitals regel tre ganger, og fikk [tex]-\frac{4}{3}[/tex]. Stemmer dette??
Dermed vet vi at grensen ikke finnes fordi de to vi beregnet gir ulike svar.

Det stemmer!