matematikk.net

Jeg har et integral som jeg sliter med å regne ut: [tex]\int sinx*cosxdx = sinx*sinx-\int sinx*cosxdx[/tex]
Så langt kommer jeg, men ikke lenger. Etter dette går det bare i sirkel.

Noen som kan vise hvordan det skal gjøres?

Står det noen plass at du MÅ bruke delvis?

$u = \cos(x)$ gjør det ganske mye lettere.

stimorolextra wrote:Jeg har et integral som jeg sliter med å regne ut: [tex]\int sinx*cosxdx = sinx*sinx-\int sinx*cosxdx[/tex]
Så langt kommer jeg, men ikke lenger. Etter dette går det bare i sirkel.

Noen som kan vise hvordan det skal gjøres?

[tex]\int (sinxcosx)dx[/tex]
substituer [tex]cosx=u[/tex]
[tex]dx=-\frac{du}{sinx}[/tex]

[tex]\int (sinx*u)*-\frac{du}{sinx}[/tex]

[tex]-\int udu[/tex]
[tex]-\frac12cos^2x+C[/tex]

Eventuelt kan vi gjøre det med delvis slik:

$$I = \int \sin(x)\cos(x)\mathrm dx \\ = -\cos(x)\cos(x) - \int \sin(x)\cos(x) \mathrm dx \\ = -\cos^2(x) - I$$

Da har vi $$I = -\cos^2(x) - I$$

Som gir $$2I = -\cos^2(x)$$

Og da er $$I = -\frac{\cos^2(x)}{2} + C$$

Og $I$ er jo fremdeles integralet vi starta med.

Aleks855 wrote:Eventuelt kan vi gjøre det med delvis slik:

$$I = \int \sin(x)\cos(x)\mathrm dx \\ = -\cos(x)\cos(x) - \int \sin(x)\cos(x) \mathrm dx \\ = -\cos^2(x) - I$$

Da har vi $$I = -\cos^2(x) - I$$

Som gir $$2I = -\cos^2(x)$$

Og da er $$I = -\frac{\cos^2(x)}{2} + C$$

Og $I$ er jo fremdeles integralet vi starta med.

[tex]-cos(x)cos(x)[/tex]

Edit: Nvm. Du la merke til det.

Ved variabelskifte tar det bare et par sekunder. Ellers så kan du gjøre det på denne måten:

[tex]\int sin(x)\cdot cos(x)dx= sin^2x-\int sin(x)\cdot cos (x)dx[/tex]


Vi ser at det siste ledet er det samme som leddet på venstre side. Flytter over.
[tex]\int sin(x)\cdot cos(x)dx+\int sin(x)\cdot cos (x)dx= sin^2x\\\\2\cdot \int sin(x)\cdot cos (x)dx= sin^2x[/tex]

Deler på 2 på begge sider
[tex]\int sin(x)\cdot cos (x)dx= \frac{1}{2}sin^2x +C[/tex]