matematikk.net

I sinus R1 er det skrevet at en funksjon er kontinuerlig dersom f(a) = grenseverdien av f(x) når x nærmer seg a. Jeg forstår det slik at da skal funskjonen være sammenhengene i punktet x = a. Men i delkap 8 regnes grenseverdien for den deriverte av en funksjon f der f'(x) = 2x når x < 1 og f'(x) = -2 når x > 1; i boken finner vi ut at disse grenseverdiene ikke er like - det står da at grafen vil ha en knekk i punktet x = 1, men at funksjonen fortsatt er kontinuerlig.

Jeg undersøkte dette i geogebra og fant ut at med knekk mente de ikke sammenhengende. Mitt spørsmål da er; hvordan kan funksjonen da være kontinuerlig?

Jeg forstår det at de to definisjonene ikke motsier hværandre, men som nevnt forsto jeg det slik at hvis det er en 'knekk'(altså et tomrom) i grafen så er ikke funksjonen kontinuerlig i punktet.

Setter stor pris på oppklaring!

Håper det er mulig å forstå hva jeg mener, er ikke kjent med LaTex(eller hva det noe er som brukes for å framstille utrykk her på siden).

stemmer ikke

dersom en funksjon ikke er deriverbar i punktet er den ikke kontiunerlig
dersom en funksjon er kontiunerlig er den deriverbar

Det var slik jeg først forsto det.

Men ifølge boken er det et ytterligere krav for dervierbarhet; 1. funksjonen skal være kontinuerlig, 2. f'(x) når x nærmer seg a fra minus siden = f'(x) når x nærmer seg a fra pluss siden.

Så dette stemmer ikke?

Marius_B_Mahiout wrote:Det var slik jeg først forsto det.

Men ifølge boken er det et ytterligere krav for dervierbarhet; 1. funksjonen skal være kontinuerlig, 2. f'(x) når x nærmer seg a fra minus siden = f'(x) når x nærmer seg a fra pluss siden.

Så dette stemmer ikke?

Vi har generelt denne sammenhengen:
F.eks.
[tex]\lim_{x\to\0^-} f(x)=\lim_{x\to\0^+} f(x)=f(x)\Leftrightarrow funksjonen\:er\:kontinuerlig\:for\:x=0[/tex]

Drezky wrote:

Marius_B_Mahiout wrote:Det var slik jeg først forsto det.

Men ifølge boken er det et ytterligere krav for dervierbarhet; 1. funksjonen skal være kontinuerlig, 2. f'(x) når x nærmer seg a fra minus siden = f'(x) når x nærmer seg a fra pluss siden.

Så dette stemmer ikke?

Vi har generelt denne sammenhengen:
F.eks.
[tex]\lim_{x\to\0^-} f(x)=\lim_{x\to\0^+} f(x)=f(x)\Leftrightarrow funksjonen\:er\:kontinuerlig\:for\:x=0[/tex]

Det forholdet var jeg klar over, kanskje du overså at jeg skrev f'(x), altså den deriverte.

Gjest wrote:stemmer ikke

dersom en funksjon ikke er deriverbar i punktet er den ikke kontiunerlig
dersom en funksjon er kontiunerlig er den deriverbar

Nei, nei, nei. Dette er helt feil. En funksjon med en "knekk" er jo kroneksempelet på en kontinuerlig, men ikke deriverbar funksjon. Grunnen til dette er at "knekken" fører til en såpass brå vending av kurven at den deriverte er ulik på vær side av knekken. Et eksempel på en kontinuerlig, men ikke deriverbar funksjon er |x|. |x| er ikke deriverbar i punktet x=0.

Rett fra wiki:
"The real absolute value function is continuous everywhere. It is differentiable everywhere except for x = 0. It is monotonically decreasing on the interval (−∞,0] and monotonically increasing on the interval [0,+∞). Since a real number and its opposite have the same absolute value, it is an even function, and is hence not invertible."

Gjest wrote:

Gjest wrote:stemmer ikke

dersom en funksjon ikke er deriverbar i punktet er den ikke kontiunerlig
dersom en funksjon er kontiunerlig er den deriverbar

Nei, nei, nei. Dette er helt feil. En funksjon med en "knekk" er jo kroneksempelet på en kontinuerlig, men ikke deriverbar funksjon. Grunnen til dette er at "knekken" fører til en såpass brå vending av kurven at den deriverte er ulik på vær side av knekken. Et eksempel på en kontinuerlig, men ikke deriverbar funksjon er |x|. |x| er ikke deriverbar i punktet x=0.

Rett fra wiki:
"The real absolute value function is continuous everywhere. It is differentiable everywhere except for x = 0. It is monotonically decreasing on the interval (−∞,0] and monotonically increasing on the interval [0,+∞). Since a real number and its opposite have the same absolute value, it is an even function, and is hence not invertible."

Takker for oppklaringen!