matematikk.net

Er det noen her som kan gi meg et hint ang. hvordan man regner ut hva det deriverte til tan x er? Jeg kommer ikke lenger enn til å bruke regelen for tan(a+b)..

Du trenger ikke bruke formelen for tan(a + b). Vanligvis gjøres dette ved å det faktum at tan(x) = sin(x)/cos(x). Dermed får vi at

[tan(x)]' = [sin(x)/cos(x)]' = [ (sin(x))'*cos(x) - sin(x)*(cos(x))' ] / cos[sup]2[/sup](x)
= [ cos(x)*cos(x) - sin(x)*(-sin(x)) ] / cos[sup]2[/sup](x) = [ cos[sup]2[/sup](x) + sin[sup]2[/sup](x) ] / cos[sup]2[/sup](x) = 1/cos[sup]2[/sup](x).

Ja, men litt av poenget var også å lære diverse triks som kan brukes både til å regne ut grenseverdier, og generelt om trigonometri. I følge formelsamlingen er den deriverte du kom fram til bare en av to mulige, hva kommer dette av? 1=sin[sup]2[/sup]x+cos[sup]2[/sup]x?

Nå er

tan(x + Δx) - tan(x)
= [ (tan(x) + tan(Δx)) / (1 - tan(x)tan(Δx)) ] - tan x
= [ tan(x) + tan(Δx) - tan(x) + tan[sup]2[/sup](x)tan(Δx) ] / [ 1 - tan(x)tan(Δx) ]
= tan(Δx)[ 1 + tan[sup]2[/sup](x) ] / [ 1 - tan(x)tan(Δx) ]
= tan(Δx) / [ cos[sup]2[/sup](x) (1 - tan(x)tan(Δx)) ] (deler med tan(Δx) i teller og nevner)
= [ cos[sup]2[/sup](x) ((1/tan(Δx)) - tan(x)) ][sup]-1[/sup]

fordi

1 + tan[sup]2[/sup](x) = 1 + (sin[sup]2[/sup](x) / cos[sup]2[/sup](x)) = (cos[sup]2[/sup](x) + sin[sup]2[/sup](x)) / cos[sup]2[/sup](x) = 1/cos[sup]2[/sup](x).

Ifølge definisjonen av den deriverte blir

(1) [tan(x)]'
= lim [sub]Δx->0[/sub] [ tan(x + Δx) - tan(x) ] / Δx
= lim [sub]Δx->0[/sub] (1/cos[sup]2[/sup](x)) [ (Δx/tan(Δx)) - Δxtan(x) ]
= (1/cos[sup]2[/sup](x)) [ lim[sub]Δx->0[/sub] Δx/tan(Δx)]

ettersom lim[sub]Δx->0[/sub] Δxtan(x) = 0*tan(x) = 0. Videre er

Δx/tan(Δx) = Δxcos(Δx)/sin(Δx) = cos(Δx) / (sin(Δx)/Δx) -> cos(0) / 1 = 1/1 = 1 når Δx->0

i.o.m. at lim[sub]Δx->0[/sub] sin(Δx)/Δx = 1. Dermed følger det av (1) at

[tan(x)]' = 1/cos[sup]2[/sup](x).

Du skriver at ifølge formelsamlingen din har tangensfunksjonen en derivert i tillegg til 1/cos[sup]x[/sup](x). Jeg går ut fra at det står at (tan(x))' ikke er definert i punktene x = (n + (1/2))[pi][/pi] der n er et heltall (dvs. for de verdier av x som er slik at cos(x) = 0). Dersom dette ikke er tilfellet, vil jeg gjerne vite hva formelsamlingen din angir som den andre deriverte av tan(x).

Det var ikke verre enn at de har oppført den identiteten du visste midtveis i resonnementet ditt, dvs. 1/cos[sup]2[/sup]x=tan[sup]2[/sup]x + 1.
Takk for raskt og forståelig svar.

Nå har jeg imidlertid kommet over et problem jeg er rimelig sikker på at ligger langt over mitt nivå, men hvorfor kan ikke x[sup]x[/sup] integreres?