matematikk.net

Er en gamling som prøver å ta opp igjen matte fra VGS. Uten å gå nærmere innpå det, kan jeg bare si en ting. Men blir rusten og selv grunnleggende kunnskap er visket ut

Men kom over følgende oppgave:
Radius i en kule er r. Regn ut radius i den kulen som har et dobbelt så stort volum.

Vet dette er elementært, men står rett og slett helt fast.

På forhånd takk for all hjelp.

Volum av en kule er gitt ved formelen $\frac{4}{3}\pi r^2 = V$ Løser du dette uttrykket mhp. r får du $\sqrt{\frac{3}{4 \pi}V} = r$
La oss kalle volum i den første kula for $V_1$ og volum i den andre kula for $V_2$ og tilsvarende for r.
Dobler du så volum vil du få følgende uttrykk:
$r_2 = \sqrt{\frac{3}{4 \pi}2V_1} = \sqrt{2}\sqrt{\frac{3}{4 \pi}V_1} = \sqrt{2}r_1$

Altså radius i kula med dobbelt så stort volum er roten av 2 ganger så stor som radius i den første kula.

Gjest wrote:Volum av en kule er gitt ved formelen $\frac{4}{3}\pi r^3 = V$ Løser du dette uttrykket mhp. r får du $\sqrt[3]{\frac{3}{4 \pi}V} = r$
La oss kalle volum i den første kula for $V_1$ og volum i den andre kula for $V_2$ og tilsvarende for r.
Dobler du så volum vil du få følgende uttrykk:
$r_2 = \sqrt[3]{\frac{3}{4 \pi}2V_1} = \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{\frac{3}{4 \pi}V_1} = \sqrt[3]{2}r_1$

Altså radius i kula med dobbelt så stort volum er tredje roten av 2 ganger så stor som radius i den første kula.

Sry, skulle være $r^3$ Har rettet på det nå.

Hei beklager mas. Men kunne du utledet litt hvordan du forkorter formelen?

Takk så mye

Da trekker jeg siste spørsmål tilbake. Ser løsningen nå Evneveikt av undertegnende.......takk for du berget nattesøvnen idag.

Vi var enige om at $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ er det samme som at $r = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V}$, sant?
Når vi da senere skal regne ut den nye radiusen "$r_2$" bruker vi samme generelle uttrykk. Det eneste som ikke er konstant her er volum, derfor setter vi også volumet som "$V_2$" for å indikere at dette er volumet til kule 2.
Setter vi nå opp uttrykket for radius til kule 2 har vi altså:
$r_2 = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V_2}$, det samme generelle uttrykket som gjelder for hvilken som helst r.
Nå vet vi at $V_2 = 2V_1$ fordi volumet av kule 2 skulle være dobbelt så stort som volumet for kule 1, så vi bytter ut $V_2$ med $2V_1$
$r_2 = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}(2V_1)}$
Det vi nå gjør er at vi flytter 2 utenfor rottegnet. Vi har at $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ Hvis vi nå kaller $2$ for a da, og resten for b har vi at:
$r_2 = \sqrt[3]{2 \frac{3}{4\pi}V_1} = \sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V_1}$.

Nå kommer vi til det jeg antar du lurte på.
Husk at det generelle uttrykket vårt var $r = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V}$. Det betyr at $r_1 = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V_1}$
Legg nå merke til at dette er nøyaktig det samme som står her etter tredje roten av 2.
$r_2 = \sqrt[3]{2} \cdot $$\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V_1}$
Altså kan vi erstatte dette med $r_1$ og vi får uttrykket vårt $r_2 = \sqrt[3]{2}$$r_1$

Vet ikke om det besvarte spørsmålet ditt, men jeg håper det ble lettere å forstå