matematikk.net

Er a) rett, og hva gjør jeg videre på b)

Et område [tex]D[/tex] i [tex]\mathbb{R}^2[/tex] er slik at [tex]\int \int f(x,y)dA=\int_{0}^{2}\int_{\sqrt{2x-x^2}}^{4-x^2}f(x,y)dydx[/tex] for alle integrerbare funksjoner [tex]f:D\rightarrow \mathbb{R}[/tex]

a) Skisser området D. Jeg legger ved en screenshot fra Geogebra:

https://gyazo.com/17287d32c98c776d34ed6ba1883683af

Riktg?
Tegnet opp de to grafuttrykkene for y.

b) Beregn dobbeltintegralet når [tex]f(x,y)=\sqrt{4-x^2-y^2}[/tex]

Tips: Husk at [tex]sin^3(\Theta )=(1-cos^2(\Theta ))sin(\Theta )[/tex]

Mitt:

[tex]\sqrt{4-x^2-y^200}=\sqrt{4-(x^2+y^2)}=\sqrt{4-r^2}[/tex]

Nå har jeg skrevet om funksjonsuttrykket f til polarform.

Nå må jeg jo finne integrasjonsgrensene, og da tenker jeg meg at:

[tex]y=\sqrt{2x-x^2}[/tex] , kvadrerer og setter inn de polareuttrykkene, og får:

[tex]r=2cos(\Theta )[/tex] Dette er er nedre.

Nå finner jeg øvre:

[tex]y=\sqrt{4-x^2}[/tex], gjør det samme som over, og får:

[tex]r=2[/tex] , jeg dropper den negative.

Står nå igjen med:

[tex]\int_{0}^{\pi /2}d\Theta \int_{r=2cos(\Theta )}^{r=2}\sqrt{4-r^2}rdr[/tex]

Ok, kan spare for det detaljerte, som nå er å bruke substitusjon, med 4-r^2 som u. Da ender jeg opp med følgende:

[tex]=-\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi /2}(4-r^2)^{3/2}[/tex]

Nå må jeg sette inn integrasjonsgrensene. Da ender jeg opp med:

[tex]=-\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi /2}(0-(4-4cos^2(\Theta ))^{3/2})d\Theta[/tex]

Hva må jeg gjøre nå? Hvordan får jeg bruk for tipset? Kanskje kvadrere integralet??

Tusen takk!

Er vel en liten skrivefeil i den øvre grensen for integralet ditt? Skal vel være: [tex]\int\int_A f(x,y)\mathrm{d}A = \int_0^2\int_\sqrt{2x-x^2}^\sqrt{4-x^2} f(x,y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x[/tex] ?

Mtp. på b).

[tex]-\frac{1}{3}\int_0^{\pi /2}\left[0-\left(4-4\cos^2{(\theta )}\right)^{3/2}\right]\mathrm{d}\theta = \frac{1}{3}\int_0^{\pi /2} 4^{3/2}\left(1-\cos^2{(\theta )}\right)^{3/2}\mathrm{d}\theta = \frac{8}{3}\int_0^{\pi /2}\sin^3{(\theta )}\mathrm{d}\theta[/tex]