Janhaa wrote:Trenger (litt teskje) hjelp til disse 2, får ikke helt tak i framgangsmåten:
a)
[tex](1,2) + (<4> \times <3>)\,\, i \,\, (\mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{15})\,/\,(<4> \times <3>)[/tex]
$<4> \times <3>=\{(4,3),(8,6),(0,9),(4,12),(8,0),(0,3),(4,6),(8,9),(0,12),(4,0),(8,3),(0,6),(4,9),(8,12),(0,0)\}$
Vi skal finne den minste positive heltallige $n$ slik at $n\cdot ((1,2)+<4> \times <3>) =(0,0)+<4> \times <3>=<4> \times <3>$. Da må $n\cdot 1\in \{0,4,8\}$ mod(12) og $n\cdot 2\in\{0,3,6,9,12\}$ mod(15).
Fra første likning ser vi at n må være enten 4,8 eller 12. Men $4*2=8\not \in \{0,3,6,9,12\} mod(15)$, og $8*2=1 mod(15)$, så eneste mulighet for n er 12. Derfor er ordenen 12.
Edit: vi vet også at ordenen til et element må være delelig på gruppas orden (kardinalitet), så dette begrenser til 2,3,4,6,12. Du kunne testet alle disse ved å sjekke om $n\cdot (1,2)\in <4> \times <3>$, for n=2,3,4,6,12.
Edit 2: Husk at addisjon i kvotientgrupper er definert på følgende måte: La N være en undergruppe i G. Elementene i G/N er da på formen a+N, der $a\in G$ Addisjon av elementer i G/N er definert ved at (a+N)+(b+N)=(a+b)+N. Så n(a+N)=na+N. Additiv enhet er 0+N=N .
Edit 3: Hvis vi da går tilbake til forrige post om ordenen til kvotientgrupper ser vi at $(\mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{15})\,/\,(<4> \times <3>)\simeq \mathbb{Z}_{12}$, siden $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_6$ ikke har noen elementer av orden 12. (men 1 har orden 12 i $\mathbb{Z}_{12}$)