matematikk.net

finnes en injektiv gruppehomomorfi fra en endelig gruppe (med endelig orden) til en uendelig gruppe med (med uendelig orden)?

[tex]\phi:G_f \to G_if[/tex]

søker:
[tex]G_f \cong \mathrm{Im} (\phi)[/tex]
dvs
[tex]\mathrm{Im} (\phi)[/tex] av enhver homomorfi er en undergruppe. Finnes en injektiv gruppehomomorfi som en[tex]\,\,\mathrm{Im} (\phi)\,\,[/tex]fra og til undergruppa?

Nei:
[tex]\mathrm{Im} (\phi)[/tex] av enhver homomorfi er en gruppe, som har endelig orden og skal være injektiv, dette motsier Lagranges teorem.
[tex]G_f \ncong \mathrm{Im} (\phi)[/tex]

er dette riktig? føler det er en klønete argumentasjon også!

Svaret er ja.

La $G=\{0\}$, og la $f:G\to\mathbb{Z}$ slik at f(0)=0. Da er f injektiv og im(f) er den trivielle gruppa.

Lagrange holder jo ikke for uendelige grupper, så det kan godt eksistere endelige undergrupper av ymse orden, av uendelige grupper.

plutarco wrote:Svaret er ja.
La $G=\{0\}$, og la $f:G\to\mathbb{Z}$ slik at f(0)=0. Da er f injektiv og im(f) er den trivielle gruppa.
Lagrange holder jo ikke for uendelige grupper, så det kan godt eksistere endelige undergrupper av ymse orden, av uendelige grupper.

Takker og bukker Mr p.