matematikk.net

Rett eller galt?

Hvis [tex]\,\phi \,\,[/tex]er en gruppehomomorfi fra en gruppe med 12 elementer til en gruppe med 48 elementer
kan ikke kjernen ha 8 elementer.

Mitt forsøk:


$\large \phi: \mathbb{Z_{12}} \to\mathbb{Z_{48}}$

orden: [tex]\,\text lcm(12, 48)=48[/tex]
antall
gruppehomomorfier; [tex]\,\text gcd(12, 48) = 12[/tex]

[tex]|\mathbb{Z_{48}}|=48[/tex]

[tex]|\mathbb{Z_{12}}|=12[/tex]
slik at
[tex]\ker(\phi) = 48/12 = 4 \neq 8[/tex]

ergo rett

Janhaa wrote:Rett eller galt?

Hvis [tex]\,\phi \,\,[/tex]er en gruppehomomorfi fra en gruppe med 12 elementer til en gruppe med 48 elementer
kan ikke kjernen ha 8 elementer.

Husk at $ker(\phi)$ er inversbildet av den trivielle undergruppa under homomorfien. Det betyr at $ker(\phi)$ må være en undergruppe i gruppa med 12 elementer. Siden 8 ikke deler 12 kan ikke dette være tilfelle, igjen fra Lagrange.

plutarco wrote:

Janhaa wrote:Rett eller galt?
Hvis [tex]\,\phi \,\,[/tex]er en gruppehomomorfi fra en gruppe med 12 elementer til en gruppe med 48 elementer
kan ikke kjernen ha 8 elementer.

Husk at $ker(\phi)$ er inversbildet av den trivielle undergruppa under homomorfien. Det betyr at $ker(\phi)$ må være en undergruppe i gruppa med 12 elementer. Siden 8 ikke deler 12 kan ikke dette være tilfelle, igjen fra Lagrange.

Ok, begynner å demre etterhvert. Takk igjen.