Logaritmelikning

[ErikAndre]

Hei!

Jeg har fått oppgitt følgende funksjon S(x):

$ S(x) = 10 000 x e^x $

Så skal jeg finne når den er lik 2000. Jeg har fått forkortet den til følgende form, men er usikker på hvordan jeg går videre:

$ ln(x) - x = ln (\frac{1}{5}) $

Noen tips?

[Aleks855]

Det er nok neppe meninga du skal finne en presis løsning her. I alle fall ikke med VGS-pensum.

Hvis det er meninga du skal gjøre det for hånd, så er numeriske metoder som Newtons Metode mer omgjengelig.

[ErikAndre]

Takk for svar!

Jeg går ikke vanlig VGS, men realfagskurs (forkurs for ingeniørutdanningen), selv om pensum burde være tilsvarende. De trenger nok ikke være nøyaktige løsninger, men i fasit er svarene oppgitt med tilnærmet tallverdi med to desimaler. Newtons metode har ikke blitt benyttet i undervisningen eller gjennomgått i pensum. Kan for ordens skyld legge ut alle mellomregningene mine i tilfelle det er et sted jeg skulle gjort noe annerledes:

[tex]S(x)=2000\Rightarrow 10 000 x \times e^{-x} =2000[/tex]

[tex]\Rightarrow x \times e^{-x} = \frac{2000}{10000}=\frac{1}{5} \Rightarrow ln{(x \times e^{-x})} = ln{(\frac{1}{5})}[/tex]

[tex]ln{(x)}-x \times ln{(e)} = ln{(\frac{1}{5})}[/tex]

[tex]ln{(x)}-x= ln{(\frac{1}{5})}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Den nøyaktige måten er å bruke Lambert-W funksjonen (står detaljert på wikipedia) I utgangspunktet så er denne funksjonen definert som løsningen av likningen $Y = X e^X$. Så $x = \text{LambertW}( Y )$. Fleste tyngre regneverktøy har i likhet med logaritmen denne funksjonen innebygget.

Alternativt kan du definere

$ \hspace{1cm}
f(x) = 2000 - 10000 x e^x
$

Og deretter bruke newtons-tilnærmingsmetode

$ \hspace{1cm}
x_{n+1} = x_{n} - \frac{ f(x_n) }{f'(x_n)}
$

Konvergerer raskt for nesten alle fornuftige startverdier. Bijeksjonsmetoden fungerer og ypperlig her, med startverdier $a = 0$ og $b = 1$.

Fikspunkt iterasjon fungerer og. Anta du har en likning $y(x) = a$, hvor a er en konstant eller en funksjon. Målet er da å skrive om denne likningen
til $x = g(x)$. Dersom du kan det, kan du skrive inn et tall på kalkulatoren. Også deretter skrive $g(\text{ans})$ og hamre løs på = knappen.

$10000 xe^x = 2000 \ \Rightarrow \ x = \frac{2000}{10000 e^x}$.

Så $g(x) = \frac{1}{5}e^{-x}$ Ved å skrive

Code: Select all

0

Også

Code: Select all

(1/5) *exp(-ans)

Og hamre løs på = knappen vil du komme frem til riktig svar raskt.

[Dolandyret]

Denne kan nok ikke løses "for hånd" med det en lærer på forkurs, så jeg vil tro at geogebra eller cas kan være til god hjelp her.

[Nebuchadnezzar]

Så søtt at VGS elever tror de vil få bruke geogebra eller cas på eksamen på universitet / forkurs

[Dolandyret]

Så søtt at VGS elever tror de vil få bruke geogebra eller cas på eksamen på universitet / forkurs

Har aldri sagt det, men når oppgaven ligger utenfor VGS pensum når det kommer til å løses ved regning, så må vi ta i bruk de hjelpemidlene vi har lov til å bruke på våres nivå til å løse den.

[ErikAndre]

Tusen takk for alle svar! GeoGebra vil nok ikke være tilgjengelig på eksamen nei, men er likevel et fint verktøy for å visualisere og kontrollere eget arbeid. Spesielt takk til Nebuchadnezzar som skrev et såppass omfattende innlegg!