Antall elementer til [tex]\,Z_{42}\,[/tex]generert av undergruppa 30 er gitt ved;
[tex]\gcd(42, 30) = 6 => 42/6 = 7[/tex]
Undergruppa <30> inneholder 7 elementer.
Stemmer dette?
Hvilke er disse?
her er jeg mer usikker, er det:
[tex]<30> = \{0, 6, 12, 18, 24, 30, 36 \}[/tex]
?
Ekstra spm:
hva er det generatorene (n) "forteller"?
Vet jeg finner dem vha: gcd(n, 42) = 1
hvilke elementer i Z42
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Fibonacci92
- Abel
- Posts: 665
- Joined: 27/01-2007 22:55
Dette ser riktig ut ja.
Først og fremst, dersom gruppen er abelsk, så er alle elementene i gruppa lineærkombinasjoner av elementene i generatormengden din. Dersom gruppa ikke er abelsk kan vi fortsatt si at dersom $\{g_1, g_2, \dots g_n\}$ genererer gruppa, så er alle elementene i gruppa gitt ved ting som $g_1^3g_2g_4^{-3}g_1$ eller $g_2g_1$ eller $g_5^2g_2$ eller $g_1g_2g_1g_2$ eller tilsvarende. Merk at en slik representasjon av elementene på ingen måte må være unik.
For å svare på det ekstra spørsmålet. Generatorene kan fortelle oss mye om en gruppe. I ditt tilfelle er undergruppa generert av ett element, nemlig $30$. Dette forteller oss at undergruppa er syklisk. Ofte er det interessant å vite hvor mange generatorer man trenger for å generere enn gruppe, spesielt om en gruppe er endeliggenerert eller ikke.
Merk at $\langle 6 \rangle = \langle 30 \rangle$ i ditt tilfelle, så generatorer er ikke nødvendigvis unike heller. Å se på gruppa $\mathbb{Z}_n$ blir egentlig litt trivielt siden den er syklisk for alle $n \geq 1$, altså finnes det alltid minst 1 element som alene genererer gruppa.
Et eksempel på en gruppe som ikke kan generereres av 1 element er $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.
Vi kan jo teste alle elementene:
$\langle (0,0) \rangle = \{ (0,0) \}$
$\langle (0,1) \rangle = \{ (0,1), (0,0) \}$
$\langle (1,0) \rangle = \{ (1,0), (0,0) \}$
$\langle (1,1) \rangle = \{ (1,1), (0,0) \}$
Det som skjer her er at alle elementene i gruppa har orden 2, så de kan ikke generere hele gruppa som har orden 4.
Merk at dette forteller oss at $\mathbb{Z}_4 \not \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Ser du hvorfor?
En annen ting er at generatorene kan hjelpe oss å beskrive alle elementene i en gruppe. Av og til vet vi f.eks. at en mengde er en gruppe, men vi kjenner ikke ved første øyekast til hva elementene i gruppen er.Hvis vi da kan finne en mengde med generatorerer kan vi beskrive alle elementene i gruppen som lineærkombinasjoner (dersom den er abelsk) av generatorene dine. Et konkret eksempel fra tallteori, som trolig ikke gir mening for deg akkurat nå, er når man ønsker å finne alle algebraiske heltall i en gitt algebraisk kroppsutvidelse. Da kan man tilegne en mengde elementer en verdi som kalles diskriminant som man kan bruke til å avgjøre om mengden din faktisk genererer alle de algebraiske heltallene. Så det er måter å sjekke om "antatte generatorer" faktisk generer hele gruppa uten å eksplisitt sjekke dette.
I eksempelet over er f.eks. $\{(0,1), (1,0)\}$ en genererende mengde for gruppa. Det vil si at alle elementer i gruppa er på formen $n \cdot (1,0) + m \cdot (0,1) = (n,m)$ (modulo 2).
En annen ting som er veldig vanlig er å bevise ting ved hjelp av induksjon på antall elementer du trenger for å generere gruppa. Man viser gjerne at noe er sant for en syklisk gruppe og utvider agrumentet induktivt for grupper med flere generatorer.
Vektorrom er jo grupper, og der kan du om du har hatt lineær algebra være enig i at det er nyttig å kjenne til en basis (som vil være en genererende mengde) for vektorrommet. Dersom vi skal se på homomorfier mellom grupper kan det ofte holde å kun se på hvor homomorfien sender generatorene.
Et eksempel fra topologi: I topologi kan man assosiere grupper til topologiske rom, og der kan antall generatorer i gruppene bl.a. fortelle oss noe om geometrien i det topologiske rommet. F.eks. er den assosierte gruppa $H_1$ til en Torus (Overflaten av en Donut) faktisk $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ Denne gruppa har to såkalte frie generatorer $(0,1)$ og $(1,0)$, og dette forteller oss geometrisk at Torusen har 2 "hull". Det ene er hullet i midten av donuten. Det andre er den hule innsiden av donuten (siden vi kun regner overflaten som en del av torusen).
Først og fremst, dersom gruppen er abelsk, så er alle elementene i gruppa lineærkombinasjoner av elementene i generatormengden din. Dersom gruppa ikke er abelsk kan vi fortsatt si at dersom $\{g_1, g_2, \dots g_n\}$ genererer gruppa, så er alle elementene i gruppa gitt ved ting som $g_1^3g_2g_4^{-3}g_1$ eller $g_2g_1$ eller $g_5^2g_2$ eller $g_1g_2g_1g_2$ eller tilsvarende. Merk at en slik representasjon av elementene på ingen måte må være unik.
For å svare på det ekstra spørsmålet. Generatorene kan fortelle oss mye om en gruppe. I ditt tilfelle er undergruppa generert av ett element, nemlig $30$. Dette forteller oss at undergruppa er syklisk. Ofte er det interessant å vite hvor mange generatorer man trenger for å generere enn gruppe, spesielt om en gruppe er endeliggenerert eller ikke.
Merk at $\langle 6 \rangle = \langle 30 \rangle$ i ditt tilfelle, så generatorer er ikke nødvendigvis unike heller. Å se på gruppa $\mathbb{Z}_n$ blir egentlig litt trivielt siden den er syklisk for alle $n \geq 1$, altså finnes det alltid minst 1 element som alene genererer gruppa.
Et eksempel på en gruppe som ikke kan generereres av 1 element er $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.
Vi kan jo teste alle elementene:
$\langle (0,0) \rangle = \{ (0,0) \}$
$\langle (0,1) \rangle = \{ (0,1), (0,0) \}$
$\langle (1,0) \rangle = \{ (1,0), (0,0) \}$
$\langle (1,1) \rangle = \{ (1,1), (0,0) \}$
Det som skjer her er at alle elementene i gruppa har orden 2, så de kan ikke generere hele gruppa som har orden 4.
Merk at dette forteller oss at $\mathbb{Z}_4 \not \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Ser du hvorfor?
En annen ting er at generatorene kan hjelpe oss å beskrive alle elementene i en gruppe. Av og til vet vi f.eks. at en mengde er en gruppe, men vi kjenner ikke ved første øyekast til hva elementene i gruppen er.Hvis vi da kan finne en mengde med generatorerer kan vi beskrive alle elementene i gruppen som lineærkombinasjoner (dersom den er abelsk) av generatorene dine. Et konkret eksempel fra tallteori, som trolig ikke gir mening for deg akkurat nå, er når man ønsker å finne alle algebraiske heltall i en gitt algebraisk kroppsutvidelse. Da kan man tilegne en mengde elementer en verdi som kalles diskriminant som man kan bruke til å avgjøre om mengden din faktisk genererer alle de algebraiske heltallene. Så det er måter å sjekke om "antatte generatorer" faktisk generer hele gruppa uten å eksplisitt sjekke dette.
I eksempelet over er f.eks. $\{(0,1), (1,0)\}$ en genererende mengde for gruppa. Det vil si at alle elementer i gruppa er på formen $n \cdot (1,0) + m \cdot (0,1) = (n,m)$ (modulo 2).
En annen ting som er veldig vanlig er å bevise ting ved hjelp av induksjon på antall elementer du trenger for å generere gruppa. Man viser gjerne at noe er sant for en syklisk gruppe og utvider agrumentet induktivt for grupper med flere generatorer.
Vektorrom er jo grupper, og der kan du om du har hatt lineær algebra være enig i at det er nyttig å kjenne til en basis (som vil være en genererende mengde) for vektorrommet. Dersom vi skal se på homomorfier mellom grupper kan det ofte holde å kun se på hvor homomorfien sender generatorene.
Et eksempel fra topologi: I topologi kan man assosiere grupper til topologiske rom, og der kan antall generatorer i gruppene bl.a. fortelle oss noe om geometrien i det topologiske rommet. F.eks. er den assosierte gruppa $H_1$ til en Torus (Overflaten av en Donut) faktisk $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ Denne gruppa har to såkalte frie generatorer $(0,1)$ og $(1,0)$, og dette forteller oss geometrisk at Torusen har 2 "hull". Det ene er hullet i midten av donuten. Det andre er den hule innsiden av donuten (siden vi kun regner overflaten som en del av torusen).
Takker for utfyllende, interessant og lærerikt svar! Greit å få kobla "tidlig pensum" med teori jeg vet kommer senere, som kroppsutvidelse.
Ang hvorfor [tex]\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \not\simeq\mathbb{Z}_4[/tex]
er fordi[tex]\, \mathbb{Z}_4\,[/tex]bare har ett element med orden 2 og to elementer med orden 4. Mens [tex]\, \mathbb{Z}_2\,[/tex]ikke har elementer med orden 4.
Følgende gjelder også:[tex]\,\, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\,[/tex]har egenskapen: [tex]a+a=2a \equiv 0 \pmod{2}[/tex]
Hvilket ikke gjelder for [tex]\,\mathbb{Z}_4.[/tex]
Studerer du ren matematikk? Kanskje Algebraisk geometri eller tallteori?
Ang hvorfor [tex]\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \not\simeq\mathbb{Z}_4[/tex]
er fordi[tex]\, \mathbb{Z}_4\,[/tex]bare har ett element med orden 2 og to elementer med orden 4. Mens [tex]\, \mathbb{Z}_2\,[/tex]ikke har elementer med orden 4.
Følgende gjelder også:[tex]\,\, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\,[/tex]har egenskapen: [tex]a+a=2a \equiv 0 \pmod{2}[/tex]
Hvilket ikke gjelder for [tex]\,\mathbb{Z}_4.[/tex]
Studerer du ren matematikk? Kanskje Algebraisk geometri eller tallteori?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]