matematikk.net

Hallo!Jeg har følgende oppgave:

Finn den minste og den største verdien av funksjonen [tex]f(x,y)=ln(1-xy)[/tex] på kvartsirkelen [tex]x^2+y^2=1[/tex] , [tex]x\geq 0,y\geq 0[/tex]

Hva har jeg gjort?
Jo, jeg mener dette skal være en sitasjon vor det er passelig å bruke Lagranges metode?

Jeg kom til følgende:

[tex]L(x,y,\lambda )=ln(1-xy)+\lambda (x^2+y^2-1)[/tex]

Par. deriverer, og får at de krit. punktene er når:

[tex]\frac{\Phi L}{\Phi x}=\frac{y}{xy-1}+2\lambda x=0[/tex]

[tex]\frac{\Phi L}{\Phi y}=\frac{x}{xy-1}+2\lambda y=0[/tex]

[tex]\frac{\Phi L}{\Phi \lambda }=x^2+y^2-1=0[/tex]

Greit, så jeg vil jo finne lambda, og det tredje uttrykket ser enklest ut.

Men det jeg tenker videre, er at jeg kan kanskje prøve å kvadrere likning 1 og 2 hver for seg, også legge dem sammen?
Da ender jeg opp med:

[tex]\frac{x^2}{(xy-1)^2}+\frac{y^2}{(xy-1)^2}=4\lambda ^2x^2+4\lambda ^2y^2[/tex]

Og ender opp med: [tex]\lambda =\pm \frac{1}{2(xy-1)^2}[/tex]

Hva gjør jeg videre? Jeg føler at dette er helt feil metode eller at dette jeg gjør er unødvendig komplisert. Derfor spør spør jeg om hjelp fra dere!

Takk

En rask kommentar. $ln$ er en strengt stigende funksjon. Derfor holder det å maksimere og minimere $1-xy$ for å finne toppunkt og bunnpunkt. Som igjen vil si at det holder å minimere og maksimere xy.

Tilleggskommentar som kanskje ikke er like nyttig: $(x-y)^2 \geq 0$ altså er $x^2+y^2 \geq 2xy$ som igjen vil si at $xy \leq \frac{1}{2}$ i ditt tilfelle siden $x^2+y^2=1$. Du trenger derfor ikke bekymre deg for definisjonsområdet til $ln$, siden $1-xy \geq \frac{1}{2}$.

Fibonacci92 wrote:En rask kommentar. $ln$ er en strengt stigende funksjon. Derfor holder det å maksimere og minimere $1-xy$ for å finne toppunkt og bunnpunkt. Som igjen vil si at det holder å minimere og maksimere xy.

Tilleggskommentar som kanskje ikke er like nyttig: $(x-y)^2 \geq 0$ altså er $x^2+y^2 \geq 2xy$ som igjen vil si at $xy \leq \frac{1}{2}$ i ditt tilfelle siden $x^2+y^2=1$. Du trenger derfor ikke bekymre deg for definisjonsområdet til $ln$, siden $1-xy \geq \frac{1}{2}$.

Det tenkte jeg ikke på, noe som er veldig interessant det du skrev over. Men hvordan kan jeg koble det inn i oppgaven egentlig?
Slik jeg skjønner det, så må jeg altså gjøre det samme som ovenfor, bare med xy pga. det du skrev?
Slik jeg også forstår det, så skal jeg få to svar, en maks og en min ettersom vi er avgrenset i 1. kvadrant?

Det kan jo tenkes at det finnes flere maksimum og flere minimum i samme kvadrant, men det er bare å forsøke og se hva som skjer:)

Jeg gjorde som du skrev, dvs at jeg brukte f(x,y=x*y istedet, men da endte jeg opp med [tex]x^2-y^2=0[/tex] etter å ha par. derivert, funnet et uttrykk for lambda og satt inn. Hva å jeg gjøre videre? Vet at uttrykket jeg fant er lik null kun når både x = y = 0.

Det er også lik null når $ x = \pm y $.

Ja, den glemte jeg jo, hehe.
Men hva skal jeg gjøre videre egentlig? Falt litt ut, dessverre.

Jeg kom frem til fire punkter:

[tex]\left ( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right )[/tex]

[tex]\left (- \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right )[/tex]

[tex]\left ( \frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right )[/tex]

[tex]\left ( -\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right )[/tex]

Men hvordan kan man få både en minste og en største verdi, når både [tex]x\geq 0,y\geq 0[/tex]?
Det ser vi at vi kun har et punkt for.

[tex]f(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{2}[/tex]

Du har begrenset deg til en kvartsirkel. Derfor må du sjekke endepunktene på kvartsirkelen også.

Fibonacci92 wrote:Du har begrenset deg til en kvartsirkel. Derfor må du sjekke endepunktene på kvartsirkelen også.

Fornuftig! Takk for hjelpen!

Så den største verdien er [tex]\frac{1}{2}[/tex] når [tex]x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]

Og den minste verdien er [tex]0[/tex] for edepunktene x = 0, y = 1, og x = 1 og y = 0?

Men hvorfor tar vi ikke hensyn til [tex]ln(1-xy)[/tex]?

Altså, at Størst verdi: [tex]ln(1-0)=ln(1)=0[/tex] og minst verdi: [tex]ln(1-1/2)=ln(1/2)[/tex]?

Jeg forstod dog det du mente med at siden ln er strengt voksende, så kan vi egentlig se på 1-xy, og dermed xy, noe som faktisk gjør derivasjonsuttrykkene mye finere og enklere.

Jeg forstår ikke helt hva du lurer på. Toppunktene er som du sier $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ og bunnpunktet er $(\frac {1}{\sqrt {2}}, \frac {1}{\sqrt {2}}, ln (\frac {1}{2}) )
$. z-koordinaten avhenger av hvilken funksjon du ser på, selv om vi argumenterte for at x og y-verdiene er de samme for begge funksjonene.

Fibonacci92 wrote:Jeg forstår ikke helt hva du lurer på. Toppunktene er som du sier $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ og bunnpunktet er $(\frac {1}{\sqrt {2}}, \frac {1}{\sqrt {2}}, ln (\frac {1}{2}) )
$. z-koordinaten avhenger av hvilken funksjon du ser på, selv om vi argumenterte for at x og y-verdiene er de samme for begge funksjonene.

Da forstår jeg det. Takk!

[tex]ln[/tex] er en strengt voksende. Men er [tex]ln(1-xy)[/tex] er voksende?

Gjest wrote:[tex]ln[/tex] er en strengt voksende. Men er [tex]ln(1-xy)[/tex] er voksende?

Bare hvis 1-xy er voksende.