matematikk.net

Hei!

Jeg har regnet ut sannsynligheten for å få 3 rette i lotto slik:

Har 34 kuler, skal plukke ut tre

=> 3/34×2/33×1/32=1/5984

Dette går jeg ut ifra at jeg har regnet rett!?

Men kan noen hjelpe meg med å finne sannsynligheten for at man får MINST 3 rette?

Problemet med minst tre rette er at i utgangspunktet må du legge sammen sannsynligheten for alle tilfellene over tre rette. Er vel 7 rette i lotto? Så

$ \hspace{1cm}
P(\text{minst tre rette}) = P(\text{tre rette} + P(\text{fire rette} + P(\text{fem rette} + P(\text{seks rette} + P(\text{syv rette})
$

Her må vi regne ut fem sannsynligheter for å finne svaret. Under gir jeg en alternativ metode. Akkuratt her er den ikke så veldig nyttig, men i oppgaver med ordlyden minst er dette en teknikk som bør huskes.

Vi kan jo dele det opp i to tilfeller: 1) du får maks to rette. 2) du får minst tre rette. Når du spiller lotto er det bare disse to tilfellene som er mulig å oppnå (prøv å tenk hvorfor). Den sammlede sannsynligheten er alltid 1 slik at

$
\hspace{1cm}
P( \text{maks to rette} ) + P( \text{minst tre rette} ) = 1
$

Ved å skrive om likningen får vi

$
\hspace{1cm}
P( \text{minst tre rette} ) = 1 - P( \text{maks to rette} )
$

Høyresiden vil være enklere å regne ut. Siden

$ \hspace{1cm}
P( \text{maks to rette} ) = P(\text{null rett}) + P(\text{en rett}) + P(\text{to rette})
$

Så ved å bruke den siste metoden trenger vi bare regne ut 3 og ikke 5 sannsynligheter for å finne svaret. Klarer du resten da?

Nebuchadnezzar wrote:Problemet med minst tre rette er at i utgangspunktet må du legge sammen sannsynligheten for alle tilfellene over tre rette. Er vel 7 rette i lotto? Så

$ \hspace{1cm}
P(\text{minst tre rette}) = P(\text{tre rette} + P(\text{fire rette} + P(\text{fem rette} + P(\text{seks rette} + P(\text{syv rette})
$

Her må vi regne ut fem sannsynligheter for å finne svaret. Under gir jeg en alternativ metode. Akkuratt her er den ikke så veldig nyttig, men i oppgaver med ordlyden minst er dette en teknikk som bør huskes.

Vi kan jo dele det opp i to tilfeller: 1) du får maks to rette. 2) du får minst tre rette. Når du spiller lotto er det bare disse to tilfellene som er mulig å oppnå (prøv å tenk hvorfor). Den sammlede sannsynligheten er alltid 1 slik at

$
\hspace{1cm}
P( \text{maks to rette} ) + P( \text{minst tre rette} ) = 1
$

Ved å skrive om likningen får vi

$
\hspace{1cm}
P( \text{minst tre rette} ) = 1 - P( \text{maks to rette} )
$

Høyresiden vil være enklere å regne ut. Siden

$ \hspace{1cm}
P( \text{maks to rette} ) = P(\text{null rett}) + P(\text{en rett}) + P(\text{to rette})
$

Så ved å bruke den siste metoden trenger vi bare regne ut 3 og ikke 5 sannsynligheter for å finne svaret. Klarer du resten da?

Blir det rett å gjøre det slik?

[tex]3 rette: 3/34×2/33×1/32=1/5984[/tex]

[tex]4 rette: 4/34×3/33×2/32×1/31=1/46376[/tex]

[tex]5 rette: 5/34×4/33×3/32×2/31×1/30=1/278256[/tex]

[tex]6 rette: 6/34×5/33×4/32×3/31×2/30×1/29=1/1344904[/tex]

[tex]7 rette: 7/34×6/33×5/32×4/31×3/30×2/29×1/28=1/5379616[/tex]

[tex]Sum: 1/5984+1/46376+1/278256+1/1344904+1/5379616=1559/8069424[/tex]

Sannsyligheten for minst tre rette er 1559/8069424.

Du tenker nok litt for enkelt på det når du regner ut $P(3), P(4)$ osv dessverre. Kan vise kort hvordan det vil se ut for $P(\text{tre rette})$: Husk at du trekker 7 kuler og ikke 3, og av disse 7 kulene skal nøyaktig 3 være av vinnertallene og nøyaktig 4 skal være av tallene som ikke er vinnertall.

La X betegne et vinnertall, og la O betegne et tall som ikke er vinnertall. Når vi trekker tallene så kan en vinnerrekke se slik ut

$ \hspace{1cm}
\text{XXXOOOO}
$

Dette symboliserer at vi trekker alle vinnertallene først. Men vi kunne like gjerne ha klart å få tre riktige slik

$ \hspace{1cm}
\text{OOOOXXX}
$

Altså at vinnertallene blir trukker sist. Når vi regner på sannsynligheten må vi huske på å ta med alle mulighetene for å få tre riktige. Antall måter vi kan trekke 3 kuler av 7 på er

$ \hspace{1cm}
7C3 = \binom{7}{3} = 35
$

Så det finnes $35$ ulike måter å få 3 rette på. Herfra må vi finne sannsynligheten for en vinnerrekke. Jeg velger å se på XXXOOOO

$ \hspace{1cm}
P(\text{XXXOOOO}) = \frac{ 7 }{ 34 } \cdot \frac{ 6 }{ 33 } \cdot \frac{ 5 }{ 32} \cdot \frac{31 - 4}{31} \cdot \frac{30 - 4}{ 30 } \cdot \frac{29 - 4}{29} \cdot \frac{28 - 4}{28} = \frac{ 8775 }{ 2689808 }
$

Sannsynligheten for å først trekke 3 vinnertall, også trekke 4 andre tall er akkuratt like stor som å trekke 4 andre tall også 3 vinnertall. Så den totale sannsynligheten for å få nøyaktig 3 like blir

$ \hspace{1cm}
P(\text{tre like}) = \binom{7}{3} \cdot \frac{ 8775 }{ 2689808 } = \frac{307125}{ 2689808 }
$

Så kan en gjøre lignende for alle høyere verdier. Som nevnt sparer du noe regning på å heller regne ut $1 - P(\text{null rette}) - P(\text{en rett}) - P(\text{to rette})$

Om du tar R1 senere kommer du nok borti noe som kalles for hypergeometrisk fordeling. Du kan lese mer om forklaringen på hvorfor den fungerer. Men formelen blir hvertfall

$ \hspace{1cm}
P(n \text{ like}) = \frac{ \binom{ 7 }{ n } \binom{34 - 7}{ 7 - n } }{ \binom{ 34 }{ 7 } }
$

Nebuchadnezzar wrote:Du tenker nok litt for enkelt på det når du regner ut $P(3), P(4)$ osv dessverre. Kan vise kort hvordan det vil se ut for $P(\text{tre rette})$: Husk at du trekker 7 kuler og ikke 3, og av disse 7 kulene skal nøyaktig 3 være av vinnertallene og nøyaktig 4 skal være av tallene som ikke er vinnertall.

La X betegne et vinnertall, og la O betegne et tall som ikke er vinnertall. Når vi trekker tallene så kan en vinnerrekke se slik ut

$ \hspace{1cm}
\text{XXXOOOO}
$

Dette symboliserer at vi trekker alle vinnertallene først. Men vi kunne like gjerne ha klart å få tre riktige slik

$ \hspace{1cm}
\text{OOOOXXX}
$

Altså at vinnertallene blir trukker sist. Når vi regner på sannsynligheten må vi huske på å ta med alle mulighetene for å få tre riktige. Antall måter vi kan trekke 3 kuler av 7 på er

$ \hspace{1cm}
7C3 = \binom{7}{3} = 35
$

Så det finnes $35$ ulike måter å få 3 rette på. Herfra må vi finne sannsynligheten for en vinnerrekke. Jeg velger å se på XXXOOOO

$ \hspace{1cm}
P(\text{XXXOOOO}) = \frac{ 7 }{ 34 } \cdot \frac{ 6 }{ 33 } \cdot \frac{ 5 }{ 32} \cdot \frac{31 - 4}{31} \cdot \frac{30 - 4}{ 30 } \cdot \frac{29 - 4}{29} \cdot \frac{28 - 4}{28} = \frac{ 8775 }{ 2689808 }
$

Sannsynligheten for å først trekke 3 vinnertall, også trekke 4 andre tall er akkuratt like stor som å trekke 4 andre tall også 3 vinnertall. Så den totale sannsynligheten for å få nøyaktig 3 like blir

$ \hspace{1cm}
P(\text{tre like}) = \binom{7}{3} \cdot \frac{ 8775 }{ 2689808 } = \frac{307125}{ 2689808 }
$

Så kan en gjøre lignende for alle høyere verdier. Som nevnt sparer du noe regning på å heller regne ut $1 - P(\text{null rette}) - P(\text{en rett}) - P(\text{to rette})$

Om du tar R1 senere kommer du nok borti noe som kalles for hypergeometrisk fordeling. Du kan lese mer om forklaringen på hvorfor den fungerer. Men formelen blir hvertfall

$ \hspace{1cm}
P(n \text{ like}) = \frac{ \binom{ 7 }{ n } \binom{34 - 7}{ 7 - n } }{ \binom{ 34 }{ 7 } }
$

Hmm... I lotto har rekkefølgen ingenting å si, så lenge vi ikke regner med ekstra-tallene. Men tenker jeg fortsatt feil?

Det er riktig at rekkefølgen ikke har noenting å si. Men spørsmålet mitt blir da, hva er vil dette si? Jo det vil si at om vinnertallene kommer ut

XXXOOOO eller OXOXOXO

Så er sannsynligheten for disse to utfallene like store. Men for å finne ut den totale sannsynligheten for å trekke få tre rette, må vi legge sammen sannsynligheten for alle mulighetene dette kan inntreffe på. Slik du regner på det, glemmer du for det første at det skal trekkes syv tall, og at vinnertallene kan bli trukket på mange ulike måter, ikke bare en.

Nebuchadnezzar wrote:Det er riktig at rekkefølgen ikke har noenting å si. Men spørsmålet mitt blir da, hva er vil dette si? Jo det vil si at om vinnertallene kommer ut

XXXOOOO eller OXOXOXO

Så er sannsynligheten for disse to utfallene like store. Men for å finne ut den totale sannsynligheten for å trekke få tre rette, må vi legge sammen sannsynligheten for alle mulighetene dette kan inntreffe på. Slik du regner på det, glemmer du for det første at det skal trekkes syv tall, og at vinnertallene kan bli trukket på mange ulike måter, ikke bare en.

Aha, selvfølgelig! Tusen hjertelig takk for god hjelp! Ser jeg har tulla helt med utrekningen av 3 rette, ja

Blir vel slik:

[tex]((7C3)*(27C4))/(34C7) = 0,1141810122[/tex]?

Ser riktig ut det