Rekker

[stimorolextra]

Leddene i en rekke er gitt ved [tex]a_{i}=\frac{1}{i^2}-\frac{1}{(i+1)^2}[/tex]. Hvordan kan jeg ut i fra dette vise at summen av de n første leddene er gitt ved [tex]S_{n}=1-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]?

Jeg har prøvd å summere faktorene, men jeg klarer ikke se noen sammenheng som gjør at jeg kommer frem til formelen?

[Nebuchadnezzar]

Hint: Dette er en teleskoperende rekke. Prøv å skriv ut de første 4 - 5 første leddene, hva skjer?

[stimorolextra]

Hint: Dette er en teleskoperende rekke. Prøv å skriv ut de første 4 - 5 første leddene, hva skjer?

Hva er en teleskoperende rekke?

De første leddene er 3/4, 5/36, 7/144, 9/400 og 11/900. Jeg ser at telleren øker med 2. Videre klarer jeg ikke å se noen sammenhenger

[DennisChristensen]

Leddene i en rekke er gitt ved [tex]a_{i}=\frac{1}{i^2}-\frac{1}{(i+1)^2}[/tex]. Hvordan kan jeg ut i fra dette vise at summen av de n første leddene er gitt ved [tex]S_{n}=1-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]?

Jeg har prøvd å summere faktorene, men jeg klarer ikke se noen sammenheng som gjør at jeg kommer frem til formelen?

$\begin{align*} S_n & = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{i^2} - \frac{1}{(i+1)^2}\right) \\
& = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + ... + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \\
& = \frac{1}{1^2} - \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^2}\right) - \left(\frac{1}{3^2} - \frac{1}{3^2}\right) - \frac{1}{4^2} + ... + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \\
& = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \\
& = 1 - \frac{1}{(n+1)^2}\end{align*}$