matematikk.net

La D være et domene i [tex]\mathbb{R}^3[/tex] med den egenskapen at enhver lukket flate i D begrenser et domene inneholdt i D , og la F være et glatt vektorfelt definert på D. Hvorfor er følgende påstander riktige?

1) [tex]\vec{F}[/tex] er konservativt [tex]\Rightarrow \vec{F}[/tex] er rotasjonsfritt

2) [tex]\triangledown \times \vec{F}[/tex] er divergensfritt.

3) Hvis [tex]\vec{F}[/tex] er divergensfritt, så finnes det en [tex]\vec{G}[/tex] slik at [tex]\vec{F}=\triangledown \times \vec{G}[/tex]

1) og 2) forstår jeg hvor er riktige. Men hvorfor er 3) ? Jeg ser ikke helt hvordan man skal tenke her..

For 2) har vi i alle fall følgende observasjon:

[tex]\triangledown \cdot (\bigtriangledown \times F) = \begin{vmatrix} \vartheta/x& \vartheta/y & \vartheta/z \\ \vartheta/x& \vartheta/y & \vartheta/z \\ F_x& F_y & F_z \end{vmatrix}[/tex]


Løser man denne determinanten, blir den helt sikkert 0.

Ah, du spurte bare om 3).

Av helmholtz theorem er

F[tex]F = \bigtriangledown \times A + \bigtriangledown \cdot B[/tex]

divergensen er 0, så F er entydig bestemt av sin Curl.