matematikk.net

Hei, fikk en derivasjonsoppgave av læreren i dag. Jeg fikk i oppgave å derivere normalfordelingsfunksjonen. Å derivere den gikk helt greit, men sliter litt med den andrederiverte.

f'(x) =[tex]f'(x) = \frac{x -\mu}{\sigma^3 \sqrt{2\pi}} * e^{\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}[/tex]

Jeg har da kommet meg frem til:

f''(x) = [tex]f''(x)=e^{\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \left (\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^5\sqrt{2\pi}} + \frac {1}{\sigma^3\sqrt{2\pi}} \right )[/tex]

Det jeg tenker jeg må gjøre er å gange med en, sånn jeg kan trekke sammen brøkene i parantesen. Men jeg klarer ikke å se at det kan gjøre at $f''(x) = 0$ gir løsningene $x_1 = \mu + \sigma$ og $x_2 = \mu - \sigma$.

Takk for hjelp.

[tex]0 =e^{\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \left (\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^5\sqrt{2\pi}} + \frac {1}{\sigma^3\sqrt{2\pi}} \right ) <=>[/tex]
[tex]0 =\left (\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^5\sqrt{2\pi}} + \frac {1}{\sigma^3\sqrt{2\pi}} \right )[/tex]

da [tex]e^{\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} > 0 ,\forall (x,\mu ,\sigma )[/tex]

Dette gir:

[tex]0 = \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2} + 1 <=>[/tex]

[tex]0 = \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2} + 1 => -\sigma^2 = x^2 + 2x\mu + \mu^2 => x^2 +(2\mu)x + (\mu^2 + \sigma^2) = 0[/tex]

Løser du andregrads likninger får du svaret:

Retter...

[tex]0 = \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2} + 1 => -\sigma^2 = x^2 - 2x\mu + \mu^2 => x^2 -(2\mu)x + (\mu^2 + \sigma^2) = 0[/tex]

Her har du nok bare en slurvefeil i normalfordelingsfunksjonen din.

[tex]f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp{\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}[/tex]

Noe som vil gi deg:

[tex]f^{\prime\prime}(x) = \frac{\exp{\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}}{\sigma^3\sqrt{2\pi}}\left[\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}-1\right][/tex]

Hehe, ser den nå. Merket først nå at minustegnet ikke var en del av brøkstreken.

Takk for hjelpen