La oss se generelt på diff.ligninger av type [tex]y' + \alpha(x)y + \beta(x) = 0[/tex]
La oss tenke oss at y er et produkt av to andre funksjoner av x, [tex]y = u(x)\cdot v(x)[/tex]
Da er [tex]y' = u'v + v'u[/tex]
Setter disse inn i den originale ligningen og får:
[tex]u'v + v'u + \alpha uv + \beta = 0[/tex]
Skriver om og får:
[tex]uv' + (u'+\alpha u)v + \beta = 0[/tex]
Hvis vi ser på leddet [tex](u'+\alpha u)v[/tex] og tenker oss at det er lik 0, så får vi at:
[tex]uv' + \beta = 0[/tex], som gir [tex]v = -\int \frac{\beta}{u} dx[/tex]. Dette er et integral vi ofte kan løse.
La oss derfor sørge for at [tex](u'+\alpha u)v = 0[/tex].
Det kan vi gjøre ved å la [tex]u' = - \alpha u[/tex], som gir [tex]\frac{u'}{u} = -\alpha[/tex]
Denne kan vi integrere, og vi får: [tex]u = e^{-\int \alpha dx}[/tex]
Siden vi har u så kan vi finne v også som et integral, fra integralet lenger oppe:
[tex]v = -\int \frac{\beta}{e^{-\int \alpha dx}} dx[/tex]
Vi har da integraler som kan gi oss både u og v. Multipliserer vi disse så får vi y:
[tex]y = e^{-\int \alpha dx} \cdot -\int \frac{\beta}{e^{-\int \alpha dx}}dx[/tex]
Dette bør derfor være en løsning for diff.ligningen.
Oppgaven i denne tråden er [tex]y' + \frac{3}{x}y - \frac{3}{x} = 0[/tex]
Dette betyr at: [tex]\alpha(x) = \frac{3}{x}[/tex] og [tex]\beta(x) = -\frac{3}{x}[/tex]
La oss regne ut [tex]-\int \alpha dx[/tex]. Det gir [tex]-3\int \frac{1}{x}dx = -3ln(x) + c[/tex]
[tex]e^{-\int \alpha dx}[/tex] blir derfor: [tex]e^{-3ln(x)+c} = c\cdot \frac{1}{x^3}[/tex]. Merk at siste c egentlig er [tex]e^c[/tex], men det er en konstant uansett, så vi kaller den bare c.
Setter dette inn i uttrykket for y:
[tex]y = c\cdot \frac{1}{x^3}\cdot -\int \frac{-\frac{3}{x}}{c\cdot \frac{1}{x^3}} dx = \frac{3}{x^3}\int x^2 dx = \frac{3}{x^3}\cdot (\frac{1}{3}x^3+c) = 1+\frac{3c}{x^3}[/tex]
Vi har altså en løsning. La oss sjekke om den stemmer:
[tex]y' = 3c\cdot (x^{-3})' = -9cx^{-4}[/tex]
Setter inn denne y og y' og får:
[tex]-9cx^{-4} + \frac{3}{x}(1+ \frac{3c}{x^3}) - \frac{3}{x} = -9cx^{-4}+\frac{3}{x}+9cx^{-4} - \frac{3}{x} = 0[/tex]
Ser derfor ut som at løsningen var riktig
