matematikk.net

Rekursiv formel er [tex]a_{i}=a_{i-1}+2i[/tex]

Hvordan skal jeg utifra denne vise at den eksplisitte formelen er n*(n+1)?

stimorolextra wrote:Rekursiv formel er [tex]a_{i}=a_{i-1}+2i[/tex]

Hvordan skal jeg utifra denne vise at den eksplisitte formelen er n*(n+1)?

Har du fått oppgitt noe mer? Står det i oppgaven at du skal komme frem til n(n+1) eller har du tatt det fra fasit?

Dolandyret wrote:

stimorolextra wrote:Rekursiv formel er [tex]a_{i}=a_{i-1}+2i[/tex]

Hvordan skal jeg utifra denne vise at den eksplisitte formelen er n*(n+1)?

Har du fått oppgitt noe mer? Står det i oppgaven at du skal komme frem til n(n+1) eller har du tatt det fra fasit?

JA, første ledd er lik 2! Har oppgitt i oppgaven at jeg skal finne frem til n*(n+1) ja.
Det jeg gjorde var å først bare finne ledd 1, ledd 2, ledd 3, ledd 4 osv, og da fikk jeg 6,12,20 osv.... Jeg så da at for ledd 2 så er 2(2+1)=6, for ledd 3 er 3(3+1)=12 osv. Men jeg tror ikke dette er et bra nok bevis?

Med tanke på et det er flaget VGS, vil jeg nok bevist dette med induksjon.

På universitet lærer en om genererings funksjoner som kan analytisk brukes til å løse rekursjons formler, som du kan søke om på google hvis du er interessert.

Apropos det som pit skrev, så finnes det en gratis pdf som omhandler genererende funksjoner, kalt generatingfunctionology: https://www.math.upenn.edu/~wilf/gfology2.pdf

Høyst anbefalt

Edit: les det første kapittelet for en kjapp innføring

[tex]a_1 = a_0 + 2*1 = 2[/tex] og [tex]1(1+1) = 1*2 = 2[/tex]
Så påstanden stemmer for n=1.

Anta at det stemmer for n=k:
[tex]a_k = k(k+1)[/tex]

Da må det stemme for n=k+1:

[tex]a_{k+1} = (k+1)(k+2) = k^2 + k + 2k + 2 = k(k+1) + 2(k+1) = a_k + 2(k+1)[/tex] hvor vi har brukt oppgitt
rekursjons formel og antakelsen om at [tex]a_k = k(k+1)[/tex] er sant

Ser da at formelen stemmer for alle k.

retter opp siste setninger...

hvor vi har brukt antakelsen om at er sant.
Da dette er lik oppgitt rekursjons formel som er gitt sann, må formelen stemme for alle k.

Rekursjonen kan vises på følgende måte:

[tex]\sum_{i=1}^{n}a_i = \sum_{i=1}^{n}a_{i-1} + 2\sum_{i=1}^{n}i <=> a_n - a_0 = 2\frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)[/tex]

Så hvis [tex]a_0 = 0 => a_n = n(n+1)[/tex]

pit wrote:Med tanke på et det er flaget VGS, vil jeg nok bevist dette med induksjon.

På universitet lærer en om genererings funksjoner som kan analytisk brukes til å løse rekursjons formler, som du kan søke om på google hvis du er interessert.

Men denne oppgaven er fra et delkapittel som ligger før delkapittelet om induksjon... Er det ikke OK å vise det slik jeg har vist det da? Eller blir det for enkelt/spesifikt?

stimorolextra wrote:

pit wrote:Med tanke på et det er flaget VGS, vil jeg nok bevist dette med induksjon.

På universitet lærer en om genererings funksjoner som kan analytisk brukes til å løse rekursjons formler, som du kan søke om på google hvis du er interessert.

Men denne oppgaven er fra et delkapittel som ligger før delkapittelet om induksjon... Er det ikke OK å vise det slik jeg har vist det da? Eller blir det for enkelt/spesifikt?

Det holder nok ikke nei, fordi det eneste du har gjort er å sette inn tall for n og satt opp en rekke, du har egentlig ikke bevist at [tex]a_n=a_{n-1}+2n=n(n+1)[/tex].
Jeg har aldri vært borti en oppgave der vi har måttet gjøre om mellom en rekursiv- og en eksplisitt formel, og helt siden jeg så du la ut denne oppgaven har jeg stusset litt på den fra tid til annen. Jeg tror kanskje jeg har funnet en måte en kan vise dette på, men jeg vet ikke om det holder.

Siden du har oppgitt [tex]a_n=n(n+1)[/tex] kan du løse [tex]a_n=a_{n-1}+2n[/tex] og vise at [tex]a_n-a_{n-1}=2n[/tex].

[tex]n(n+1)=(n-1)((n-1)+1)+2n[/tex]
[tex]n^2+n=n^2-n+2n[/tex]
[tex]n^2+n-n^2+n=2n[/tex]
[tex]2n=2n[/tex]