matematikk.net

Tenk på 1-dimensjonel tidsavhengige Schrodingerlignignen:
[tex]ih \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{h^2}{2m}\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}+V(x)\Psi[/tex]
Hvor $\Psi$ er en funksjon av både x og t.
Brukk separasjon av variableteknikk for å gjenopprette den tidsuavhengige Schrodingerligningen.


Har prøvd flere ting men kommer ingen vei, noen som kan dytte meg i vei, eller gi meg fasit?

Hint: for [tex]V(x)\Psi[/tex] anta at [tex]\Psi= 4(x)f(t)[/tex] og substituer

Som Kjemiker'n er inne på, anta at [tex]\Psi(x,t) = u(x)v(t)[/tex]

Vi har da følgende:
[tex]\frac{\partial \Psi}{\partial t} = u(x)v'(t)[/tex]
og
[tex]\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = v(t)u''(x)[/tex]

Setter vi disse inn i den originale ligningen får vi:
[tex]-\frac{\hbar^2}{2m}(vu'') + V(x)uv = i\hbar u\frac{\partial v}{\partial t}[/tex]

Vi kan da trekke ut v(t) fra venstresiden:
[tex]v(-\frac{\hbar^2}{2m}u'' + V(x)u) = i\hbar u\frac{\partial v}{\partial t}[/tex]

Deler på u og v på begge sidene og får:
[tex]i\hbar\frac{\partial v}{\partial t}\cdot \frac{1}{v(t)} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{u(x)}\cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + V(x)[/tex]

Begge disse sidene kan ikke være like med mindre de er konstante. La oss kalle denne konstanten E. Vi får da:
[tex]i\hbar\frac{\partial v}{\partial t}\cdot \frac{1}{v(t)} = E[/tex]
og
[tex]-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{u(x)}\cdot \frac{\partial^2 u}{\partial u^2} + V(x) = E[/tex]

Multipliserer vi sistnevnte med u(x) på begge sidene så får vi den tidsuavhengige ligningen:
[tex]-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + V(x)u(x) = E\cdot u(x)[/tex]

Edit: skriveleif

Takker og bukker!