matematikk.net

Hei!
Kan noen forklare meg hva det vil si at en estimator er forventningsrett uten å bruke ulike definisjoner? Jeg har jo tilgang til definisjonene og tror jeg forstår 70 % (ja, tydeligvis kan jeg oppgi forståelsen min i %)...
Om noen har forstått hva forventningsrett vil si og kanskje en eller annen gang har fått en aha-opplevelse rundt dette, håper jeg at denne noen kan prøve å videreformidle det.

Gleder meg til å høre fra "noen"!

At en estimator er forventningsrett betyr at den, ved gjentatte forsøk, ikke vil ha et systematisk avvik fra den parameteren vi ønsker å estimere.

Så det betyr at vi ikke tillegger estimatoren egenskaper som den reelle parameteren ikke har.

Det betyr at forventningsverdien til estimatoren er lik det man forsøker å estimere. Vi har da det man på engelsk kaller en unbiased estimator.

[tex]<\hat{\theta}> = \theta[/tex]

Et godt eksempel er hvis man prøver å estimere en populasjonsvarianse, [tex]\sigma^2[/tex], ut i fra stikkprøver.

Vi har at gjennomsnittet for stikkprøven (sample mean) er gitt ved:
[tex]\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i[/tex]

og en estimator for populasjonsvariansen er gitt ved:
[tex]s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X - \bar{X})^2[/tex]

Dette er ikke en forventningsrett estimator for [tex]\sigma^2[/tex].

Det kan vi se fordi:
[tex]E[s^2] = E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X-\bar{X})^2)] = E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n((X_i-\mu)-(\bar{X}-\mu))^2] = E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 - 2(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu) + (\bar{X}-\mu)^2] = E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X-\mu)^2 - (\bar{X}-\mu)^2] = \sigma^2 - E[(\bar{X}-\mu)^2][/tex]

Resultatet [tex]\sigma^2 - E[(\bar{X}-\mu)^2][/tex] er altså mindre enn [tex]\sigma^2[/tex], så forventningsverdien til [tex]s^2[/tex] er ikke det samme som [tex]\sigma^2[/tex]. Estimatoren er dermed ikke forventningsrett.

Følgende estimator er en forventningsrett estimator av populasjonsvariansen:
[tex]s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X-\bar{X})^2[/tex]

Tusen takk, begge to!