matematikk.net

Hei!
Oppgaven nedenfor er den siste oppgaven i kapitlet om aritmetiske rekker i Aschehougs R2-bok. Jeg har kontroll på rekker for øvrig, men sliter med å finne ut av hvordan jeg skal angripe denne. Et hint eller to hadde hjulpet veldig!

Når [tex]x\neq -1[/tex], [tex]y\neq -1[/tex] og [tex]x\neq -y[/tex], er [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] to tall slik at [tex]\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+1}+ ...[/tex] er en aritmetisk rekke.
Vis at da må også [tex]x^2+1+y^2+ ...[/tex] være en aritmetisk rekke.


Erlend

Ved å anvende det faktum at i en aritmetisk rekke

$(1) \;\; x_1 + x_2 + x_3 + \ldots$ er $x_1 + x_3 = 2x_2$,

får vi at

${\textstyle (2) \;\; \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} = \frac{2}{x+y}}$.

Ved å multiplisere begge sider av (2) med $(x+1)(y+1)(x+y)$, blir resultatet

$(x+y)[(x + 1) + (y+1)] = 2(x+1)(y+1)$.

Altså blir

$(x+y)^2 + 2(x+y) = 2(xy + 1) + 2(x+y)$,

i.e.

$x^2 + 2xy + y^2 = 2xy + 2$.

Så vi ender opp med

$(3) \;\; x^2 + y^2 = 2$.

Ifølge kriteriet (1) innebærer dette at $x^2 + 1 + y^2 + \ldots$ er en aritmetisk rekke.