matematikk.net

"Vis ved induksjon at [tex]1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

I første trinn setter jeg n=1. Det stemmer. Så antar jeg at n=k. Deretter skal jeg skjekke om det stemmer at n=k+1:
Venstre side:
[tex]1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6(k+1)^2}6[/tex]

Høyre side:
[tex]\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/tex]

Problemet nå er bare at jeg ikke klarer å få venstre side til å bli lik høyre side. Hva må jeg gjøre? Og hva har jeg eventuelt gjort feil?

sammenlikne:

[tex]a_{k+1}\,+\,S_k[/tex]
og
[tex]S_{k+1}[/tex]
der
S: er summen
og
a(k+1) er (k+1)'te leddet

Janhaa wrote:sammenlikne:

[tex]a_{k+1}\,+\,S_k[/tex]
og
[tex]S_{k+1}[/tex]
der
S: er summen
og
a(k+1) er (k+1)'te leddet

Hva mener du? Men er det noe av det jeg har satt opp som er feil?

stimorolextra wrote:"Vis ved induksjon at [tex]1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
I første trinn setter jeg n=1. Det stemmer. Så antar jeg at n=k. Deretter skal jeg skjekke om det stemmer at n=k+1:
Venstre side:
[tex]1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6(k+1)^2}6[/tex]
Høyre side: [tex]\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/tex]
Problemet nå er bare at jeg ikke klarer å få venstre side til å bli lik høyre side. Hva må jeg gjøre? Og hva har jeg eventuelt gjort feil?

du har gjort riktig:
sjekk linken, RHS = LHS

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(k ... 3)%2F6+%3D+(k(k%2B1)(2k%2B1)%2F6)%2B(6(k%2B1)%5E2)%2F6

hele linken

stimorolextra wrote:"Vis ved induksjon at [tex]1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

I første trinn setter jeg n=1. Det stemmer. Så antar jeg at n=k. Deretter skal jeg skjekke om det stemmer at n=k+1:
Venstre side:
[tex]1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6(k+1)^2}6[/tex]

Høyre side:
[tex]\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/tex]

Problemet nå er bare at jeg ikke klarer å få venstre side til å bli lik høyre side. Hva må jeg gjøre? Og hva har jeg eventuelt gjort feil?

Skal altså vise at: [tex]\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}[/tex]

[tex]\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/tex]

VS:
[tex]k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2=(k+1)(2k^2+k)+6k^2+12k+6=2k^3+2k^2+k^2+k+6k^2+12k+6=2k^3+9k^2+13k+6[/tex]
(1)
[tex](k+1)(k+2)=k^2+3k+2[/tex]
(2)
[tex](2k^3+9k^2+13k+6):(k^2+3k+2)=2k+3[/tex]

[tex]2k^3+9k^2+13k+6=(k+1)(k+2)(2k+3)[/tex]

Så bare viser du tilbake til litt lenger opp i regninga, og induksjonen er bevist.
Det finnes GARANTERT en enklere måte å gjøre dette på, men når en står fast er det ingen andre måter å gjøre det på enn å gå den tungvinde veien :L