matematikk.net

Hei! Sliter utrolig mye med å forstå hvordan man skal finne globale maks/min! Har et uttrykk her som lyder:

[tex]f(x)=(x^2+x-5)*e^{-x}[/tex]

Vel jeg deriverte den og fikk:

[tex]-1e^{-x}*(x-3)(x+2)[/tex]

som stemmer med fasiten. Deretter lagde jeg en fortegnslinje til funksjonen og bruke da de to nullpunktene -2 og 3. (Kalles disse kandidatpunkter eller er de også stasjonære punkter?). Fortegnslinja viser at f' er avtagende i

[tex]< \leftarrow ,-2] og [3,\rightarrow >[/tex]

den var også

Voksende i [-2,3]

Og så skal jeg liksom sjekke om disse er globale maks og min. Det er her jeg virkelig sliter.

Jeg bare flytter e^-x ned fra f(x) og får da:

[tex]\lim_{x\rightarrow minusevig} \frac{x^2+x-5}{e^{x}}[/tex]

og

[tex]\lim_{x\rightarrow plussevig} \frac{x^2+x-5}{e^{x}}[/tex]

Da tenker jeg siden den siste grenseverdien er et "ubestemt uttrykk" av formen evig/evig så skal jeg bruke L'Hospitals regel og da derivere oppe og nede for seg selv og da får jeg først da:

[tex]\lim_{x\rightarrow plussevig} \frac{2x+1}{e^{x}}[/tex]

Herfra er jeg litt lost men jeg antok at man skulle derivere videre ettersom jeg forstatt har et ubestemt uttrykk som begge er evig/evig når x går mot evig. Da fikk jeg:

[tex]\lim_{x\rightarrow plussevig} \frac{2}{e^{x}}[/tex]

Og da har jeg ikke lenger et "ubestemt uttrykk" ettersom 2/evig går mot 0? Hva er liksom riktig svar etter det her? Er det da bevist at -2 eller 3 er henholdsvis globalt min eller globalt maks?

Og så har jeg jo ikke fått til å regne den første grenseverdien hvor x går mot minusevig heller...

FASIT: "Det lokale bunnpunktet x=-2 er globalt minimum, men det lokale topp-punktet x=3 er ikke globalt maksimum.

[tex]f(x)=(x^2+x-5)*e^{-x}[/tex]

Skal bare skjekke om det stemmer:
Kan bruke produkt eller brøkregelen:

Brøkregel:

[tex]f(x)=\frac{x^2+x-5}{e^x}\rightarrow f'(x)=\frac{(2x+1)*e^{x}-x^2+x-5*e^x}{(e^x)^2}=\frac{e^x((2x+1)-\left (x^2+x-5 \right ))}{(e^x)^2}=\frac{2x+1-x^2-x+5}{e^x}=\frac{-x^2+x+6}{e^x}=\frac{-1(x-3)(x+2)}{e^x}[/tex]


[tex]f(x)=0\Leftrightarrow \frac{-1(x-3)(x+2)}{e^x}=0[/tex]

Fortegnslinje...

Viser at [tex]f(x)<0\:\:når\:\:\:x<-2\:\:U\:\:x>3[/tex] og at [tex]f(x)>0\:\:når\:\:-2<x<3[/tex]

Ja, her stopper det opp for deg:

Og ja, et stasjonært punkt vil si et punkt på grafen der vi har at [tex]f'(x)=0[/tex] MAO. i dette tilfellet vil x=-2 og x=3 være stasjonære punkter.

De globale maksimum/minimum punktene er de absolutte punktene på en graf som er høyere eller laverene enn alle adnre punkt. Ofte er Lokale maksimum og minimum -punktene der [tex]f'(x)=0[/tex]. Disse vil være lokale maks og min (større eller mindre) rund de punktene som ligger rundt dette området.

Så ettersom oppgaven sier at [tex]f(x)[/tex] har globake maks/min så kan vi finner vi dem blant de lokale ekstremalpunktene våre. Vi tar de som gir [tex]f(x)_{maksimumverdi}[/tex] og [tex]f(x)_{minimumsverdi}[/tex]

Men hvis oppgaven ikke hadde spesifisert dette så må vi bruke noen teknikker. Hvis vi vet at funksjonen [tex]f(x)[/tex] er kontinuerlig i et intervall [tex]\left [ x,y \right ][/tex] så må [tex]f(x)[/tex] ha minst ett globalt maksimum og minst ett globakt minimum -punkt i intervallet [tex]\left [ x,y \right ][/tex].

Men du oppgir ikke noe intervall slik at [tex]D_f=\mathbb{R}[/tex]

Så:
[tex]lim_{x\to \pm \infty }f(x)=lim_{x\to \pm \infty }\frac{-1(x-3)(x+2)}{e^x}=lim_{x\to \pm \infty }\frac{-1(x-3)(x+2)}{e^x}*\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\frac{-\frac{1}{x}(1-\frac{3}{x})*(1+\frac{2}{x})}{\frac{e^x}{x}}=\frac{-0(1-0)(1+0)}{0}=\frac{0}{0}[/tex]


L'Hôpitals regel er ikke pensum i VGS, skal egentlig kunne omskrive utrykket, men la gå:
[tex]f(x)=\frac{-x^2+x+6}{e^x}\overset{L'hôpitals}{\rightarrow}\frac{-2x+1}{e^x}\rightarrow\:lim_{x\to \pm \infty }f(x)=lim_{x\to \pm \infty }\frac{-2x+1}{e^x}*\left ( \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \right )=lim_{x\to \pm \infty }\frac{-2+\frac{1}{x}}{\frac{e^x}{x}}=\frac{-2+0}{?}[/tex]

[tex]lim_{x\to \pm \infty }\frac{e^x}{x}=veldighøyt?[/tex]

Muligens: [tex]lim_{x\to \pm \infty }\frac{e^x}{x}=lim_{x\to \pm \infty }\left (e^x*x^{-1} \right )=lim_{x\to \pm \infty }=lim_{x\to \pm \infty }(e^x+\frac{1}{x}=høyt,lite+0=?[/tex]

Ahh, fu*k . Vet ikke.. sikkert noe feil jeg har gjort her..


Hva slags pensum er dette? Hvis dette er R1 synes jeg det er litt rart da jeg aldri har støtt på noen lignende oppgave.

Ja, når jeg tenker meg om så er det fordi jeg leste litt på universitets-matte, jeg får vel poste den der!

Erikssen wrote:Ja, når jeg tenker meg om så er det fordi jeg leste litt på universitets-matte, jeg får vel poste den der!

....... Kunne kanskje nevnt det tidligere? Sløst vekk min dyrebare tid fordi jeg trodde dette var R1-relatert og fordi jeg har en terminprøve om 1 uke..

Nå som jeg tenker meg så ser jeg en liten feil i det jeg har gjort..

[tex]x\to \pm \infty \left ( \frac{e^x}{x} \right )=\pm \:\infty\:\:?[/tex]

Drezky wrote:

Erikssen wrote:Ja, når jeg tenker meg om så er det fordi jeg leste litt på universitets-matte, jeg får vel poste den der!

....... Kunne kanskje nevnt det tidligere? Sløst vekk min dyrebare tid fordi jeg trodde dette var R1-relatert og fordi jeg har en terminprøve om 1 uke..

Nå som jeg tenker meg så ser jeg en liten feil i det jeg har gjort..

[tex]x\to \pm \infty \left ( \frac{e^x}{x} \right )=\pm \:\infty\:\:?[/tex]

ingen forteller deg at du må svare på spørsmålet heller, men er jo litt enig at spørsmålet burde blitt plassert i riktig tråd for å unngå slike missforståelser.

??

Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. I slike punkter er det ingen endring i veksten til funksjonen. Hvis den deriverte skifter fortegn, er det stasjonære punktet et ekstremalpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn, er det stasjonære punktet et terrassepunkt.

Det ser ut som du gjør mye riktig, men roter deg litt bort. Siden definisjonsmengden ikke er oppgitt kan ikke funksjonen ha noen ekstremalpunkt i endepunktene.
En tanke som du skriver er å se på hva som skjer når $x \to \infty$. Men dette er bare en grenseverdi, en vil aldri nå det punktet, og derfor kan heller ikke funksjonen ha et topp eller bunnpunkt der. Da en alltid vil kunne finne et punkt som er litt større eller litt mindre.

Når det er sagt så vokser $a^x$ alltid raskere enn $x^k$ for alle $a,k > 1$. Med andre ord

$ \hspace{1cm}
\lim_{x \to \infty} \frac{ x^k }{ a^x } = 0
$

Dette holder da selvsagt også for $a = e$. Å vise det ovenfor er heldigvis ikke så vanskelig. Vi kan bruke induksjon på $k$. Grunntillfellet $k = 0$ er rett frem

$ \hspace{1cm}
\lim_{x \to \infty} \frac{ 1 }{ a^x } = 0
$

Anta så at formelen holder for en tilfeldig $k = p$.

$ \hspace{1cm}
\lim_{x \to \infty} \frac{ x^p }{ a^x } = 0
$

Ønsker å vise at dette medfører at det også holder for $k = p + 1$. Ved å bruke l'hopital har vi da

$ \hspace{1cm}
\lim_{x \to \infty} \frac{ x^{p+1} }{ a^x }
= \lim_{x \to \infty} \frac{ (p+1) \cdot x^p }{ (\log a) a^x }
= \frac{p+1}{\log a} \lim_{x \to \infty} \frac{ x^p }{ a^x }
= 0
$

Hvor vi brukte induksjonshypotensen i siste overgang.

a må vel være større enn 1? Om ikke vil vel det under brøken gå mot null, og selve uttrykket mot uendelig.

Stemmer det. Var en liten forglemmelse.