matematikk.net

pit wrote:Tror det er greit nok, og har aldri sett noen annen form for løsning.
Har en alternativ løsning på lageret, men har ikke tenkt så mye på den:
[tex]D_{\infty } \simeq[/tex] {[tex]\rho[/tex], [tex]\tau[/tex]}
Hvis [tex]D_{\infty } \triangleleft G[/tex]
må det finnes en kanonisk homomorfisme:
[tex]\mu: G\rightarrow G/D_{\infty }[/tex]
Så hvis man klarte å hvise en slik homomorfisme, vil jeg tro man kunne ha vist dette alternativt, selv om det er langt
fra nødvendig. Holder med det du har gjort

Janhaa wrote:La G være gruppen av alle plane isometrier og la N være undergruppen til G som består av translasjoner og rotasjoner.

Jeg skal således forklare hvorfor N er normal i G.

Start:

antar da [tex]\,g, g^{-1} \in G\,[/tex]og [tex]\,g, g^{-1}\notin N\,[/tex]
der g er en speiling eller en glidespeiling. Antar videre at [tex]\,h, h^{-1} \in N\,[/tex]
der h er en rotasjon eller en translasjon.
Da vil [tex]\,g^{-1}h g\,\,[/tex]ligge i N
=> N er normal i G.
Holder dette?

plutarco wrote:

Janhaa wrote:La G være gruppen av alle plane isometrier og la N være undergruppen til G som består av translasjoner og rotasjoner.
Det eneste du har gjort her er jo å gjenfortelle definisjonen av en normal undergruppe, så dette holder ikke som bevis.
Det er sikkert flere måter å vise dette på, men her er en måte, som jeg tror skal være riktig:
Mengden av rotasjoner og translasjoner består av alle jevne isometrier(komposisjon av partallig antall refleksjoner), mens refleksjoner og gliderefleksjoner alltid kan skrives som et odde antall refleksjoner.
N er en undergruppe av G: For $h_1$ og $h_2$ i N består begge av et like antall refleksjoner, så komposisjonen $h_1h_2$ bestå av et like antall refleksjoner, og mengden er lukket. Det er klart at ethvert element i N har en invers i N, ved komposisjon (de inverse refleksjonene i motsatt rekkefølge). Identiteten består av komposisjonen av en refleksjon og dens inverse.
N er normal: La $h\in N$ og $g\in G$. Da er der klart at $g^{-1}hg$ består av et partallig antall refleksjoner (odde+like+odde=like, og like+like+like=like), så dermed er $g^{-1}hg\in N$.Det følger at N er en normal undergruppe i G.