matematikk.net

Kan noen hjelpe meg å løse [tex]y'' = \frac{1}{x^3}y[/tex] ?

Gjest wrote:Kan noen hjelpe meg å løse [tex]y'' = \frac{1}{x^3}y[/tex] ?

Trur du kan bruke metoden med variasjon av parametre som involverer wronskian...

Gjest wrote:Kan noen hjelpe meg å løse [tex]y'' = \frac{1}{x^3}y[/tex] ?

forresten - trur reduksjon av orden er bedre...

Gjest wrote:Kan noen hjelpe meg å løse [tex]y'' = \frac{1}{x^3}y[/tex] ?

Har du skrevet riktig ODE?, da løsninga involverer Bessel funksjoner:


http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... %27-+y%3D0

Janhaa wrote:

Gjest wrote:Kan noen hjelpe meg å løse [tex]y'' = \frac{1}{x^3}y[/tex] ?

Har du skrevet riktig ODE?, da løsninga involverer Bessel funksjoner:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... %27-+y%3D0

Ble litt gira på denne spesielle 2. ordens ODE. Er den i hele tatt mulig å løse?
Kan man endre variabelen og bruke Frobenius method?

Tror ikke man kan bruke frobenius' metode, da [tex]x=0[/tex] er et irregulært singulært punkt.

Ligningen
[tex]y''=\frac{1}{x^3}y[/tex]

er en Schrödinger-ligning, som generelt har formen:

[tex]y'' = A(x)y[/tex]

Faktisk kan alle 2. ordens ordinære differensialligninger, [tex]y'' + \alpha(x)y' + \beta(x)y = 0[/tex]
, skrives om på formen til en Schrödinger-ligning.

Scrôdinger-ligninger er ytterst vanskelige å løse. Faktisk det vel bare i et fåtall tilfeller at vi kan finne løsninger analytisk. Da kan vi prise oss lykkelige for at det finnes måter å analytisk approksimere løsninger

Ved bruk av asymptotiske metoder kommer jeg frem til at y er asymptotisk lik:
[tex]y(x) \asymp C_\pm\cdot e^{\frac{\pm 2}{\sqrt{x}}}\cdot x^{\frac{3}{4}}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{\frac{n}{2}}[/tex] når [tex]x\rightarrow 0[/tex]


Der [tex]a_{n+1} = a_n\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{(n-\frac{1}{2})(n+\frac{3}{2})}{(n+1)}[/tex]

Dvs:
[tex]y(x) \asymp C_\pm\cdot e^{\frac{\pm 2}{\sqrt{x}}}\cdot x^{\frac{3}{4}}(1-\frac{3}{16}x^{\frac{1}{2}} - \frac{15}{512}x - \frac{105}{8192}x^{\frac{3}{2}}+...)[/tex] når [tex]x \rightarrow 0[/tex]

Så fremt jeg har regnet riktig.

sbra wrote:Tror ikke man kan bruke frobenius' metode, da [tex]x=0[/tex] er et irregulært singulært punkt.
Ligningen
[tex]y''=\frac{1}{x^3}y[/tex]
er en Schrödinger-ligning, som generelt har formen:
[tex]y'' = A(x)y[/tex]
Faktisk kan alle 2. ordens ordinære differensialligninger, [tex]y'' + \alpha(x)y' + \beta(x)y = 0[/tex]
, skrives om på formen til en Schrödinger-ligning.
Scrôdinger-ligninger er ytterst vanskelige å løse. Faktisk det vel bare i et fåtall tilfeller at vi kan finne løsninger analytisk. Da kan vi prise oss lykkelige for at det finnes måter å analytisk approksimere løsninger
Ved bruk av asymptotiske metoder kommer jeg frem til at y er asymptotisk lik:
[tex]y(x) \asymp C_\pm\cdot e^{\frac{\pm 2}{\sqrt{x}}}\cdot x^{\frac{3}{4}}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{\frac{n}{2}}[/tex] når [tex]x\rightarrow 0[/tex]
Der [tex]a_{n+1} = a_n\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{(n-\frac{1}{2})(n+\frac{3}{2})}{(n+1)}[/tex]
Dvs:[tex]y(x) \asymp C_\pm\cdot e^{\frac{\pm 2}{\sqrt{x}}}\cdot x^{\frac{3}{4}}(1-\frac{3}{16}x^{\frac{1}{2}} - \frac{15}{512}x - \frac{105}{8192}x^{\frac{3}{2}}+...)[/tex] når [tex]x \rightarrow 0[/tex]Så fremt jeg har regnet riktig.

Virker som trådstarter har skrevet feil likning da, med mindre h*n sysler med kvantemekanikk!
Så det var gode gamle Schrödinger likningen egentlig :=)
Pent...
hvilket kurs har du lært den analytiske approksimasjons-metoden?

Jeg har ikke tatt noe kurs, bare lest om det selv.

Boka jeg kjøpte heter "Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers: Asymptotic Methods and Perturbation Theory" av forfatterne Bender og Orszag.

Kjapt google-søk viser dog at det finnes kurs i Norge, f.eks:
https://www.ntnu.no/studier/emner/FY8304#tab=omEmnet
http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MEK4110/

Kan forresten nevne at formen på approksimasjonen til y(x) er ganske typisk.

[tex]e^(\frac{\pm 2}{\sqrt{x}})[/tex] er den irregulære singulære delen,
[tex]x^{\frac{3}{4}}[/tex] er den regulære singulære delen (frobenius-lignende delen),
og [tex]\sum a_n x^{\frac{n}{2}}[/tex] er den ordinære delen (taylor-lignende delen).

I tillegg kan jeg jo nevne WKB-approksimasjonen.

Hvis man har en diff.ligning på Schrödinger-form [tex]y'' = A(x)y[/tex], så finner man WKB-approksimasjonen ved å gjøre følgende:
[tex]y(x) \asymp A^{-1/4}\cdot e^{\pm \int^x \sqrt{A} dt}[/tex]

Hvis du benytter den på ligningen i denne tråden så får man den første delen av den utvidede approksimasjonen min. Ganske kult

sbra wrote:Kan forresten nevne at formen på approksimasjonen til y(x) er ganske typisk.
[tex]e^(\frac{\pm 2}{\sqrt{x}})[/tex] er den irregulære singulære delen,
[tex]x^{\frac{3}{4}}[/tex] er den regulære singulære delen (frobenius-lignende delen),
og [tex]\sum a_n x^{\frac{n}{2}}[/tex] er den ordinære delen (taylor-lignende delen).
I tillegg kan jeg jo nevne WKB-approksimasjonen.
Hvis man har en diff.ligning på Schrödinger-form [tex]y'' = A(x)y[/tex], så finner man WKB-approksimasjonen ved å gjøre følgende:
[tex]y(x) \asymp A^{-1/4}\cdot e^{\pm \int^x \sqrt{A} dt}[/tex]
Hvis du benytter den på ligningen i denne tråden så får man den første delen av den utvidede approksimasjonen min. Ganske kult

Takker ganske kult, interessant og heavy ja...
Har bare vært borti approksimasjons-metoder i molekyldynamikk anvendt på Schrødinger likninger etc.

Shit. Jeg visste ikke at den skulle være så vanskelig å løse. Det var bare en tilfeldig oppgave jeg lagde selv. Så enkel ut! Det var nok litt over mitt nivå. Takk likevel