matematikk.net

Hei!
Jeg holder på med følgende oppgave:

Finn de tre verdiene [tex]a,b,c[/tex], med sum lik 35 slik at uttrykket [tex]ab^2c^3[/tex] er maksimalt.

Jeg ser virkelig ikke hvordan jeg skal klare å angripe denne oppgaven. Greit, så hva kan jeg lese ut av teksten? Jo:

[tex]a+b+c=35[/tex]

Men så gjelder det å uttrykke det slik at det produktet blir maksimalt. Det klarer jeg virkelig ikke å se hvordan jeg skal gjøre det.
Tusen takk på forhånd!

Antar man kan gjøre det på måte i)

[tex]b=35-a-c[/tex]
så sette
[tex]f(a, c) = a(35-a-c)^2c^3[/tex]
og partiellderivere mhp hhc a og c:
[tex]\partial f / \partial a = 0[/tex]
og
[tex]\partial f / \partial c = 0[/tex]

eller evt
ii)
vha
AM-GM ulikhet

Gjest wrote:Hei!
Jeg holder på med følgende oppgave:

Finn de tre verdiene [tex]a,b,c[/tex], med sum lik 35 slik at uttrykket [tex]ab^2c^3[/tex] er maksimalt.

Jeg ser virkelig ikke hvordan jeg skal klare å angripe denne oppgaven. Greit, så hva kan jeg lese ut av teksten? Jo:

[tex]a+b+c=35[/tex]

Men så gjelder det å uttrykke det slik at det produktet blir maksimalt. Det klarer jeg virkelig ikke å se hvordan jeg skal gjøre det.
Tusen takk på forhånd!

Funksjonen [tex]ab^2c^3[/tex] har sitt maksimum når [tex]b=2a[/tex] og [tex]c=3a[/tex].

Generelt gitt denne typen flervariabel funksjon så er fremgangsmåten slik for å finne dens maksimale verdi:
1) Gitt en definisjonsmengde del summen på antall faktorer i funksjonen. Her har vi [tex]a*b*b*c*c*c[/tex], altså 6 faktorer. Derfor: [tex]\frac{35}{6}[/tex].
2) For at en flervariabel funksjon skal nå sin maksimale verdi må alle faktorer i funksjonen inneholde denne faktoren selv. For maksimal verdi er hver faktor i funksjonen et produkt av denne faktoren ([tex]\frac{35}6[/tex]) og sin eksponent.

Derfor vil funksjonen [tex]ab^2c^3[/tex] ha den maksimale verdien: [tex](1*\frac{35}6)^1*(2*\frac{35}6)^2*(3*\frac{35}6)^3[/tex]

Dolandyret wrote:

Gjest wrote:Hei!
Jeg holder på med følgende oppgave:

Finn de tre verdiene [tex]a,b,c[/tex], med sum lik 35 slik at uttrykket [tex]ab^2c^3[/tex] er maksimalt.

Jeg ser virkelig ikke hvordan jeg skal klare å angripe denne oppgaven. Greit, så hva kan jeg lese ut av teksten? Jo:

[tex]a+b+c=35[/tex]

Men så gjelder det å uttrykke det slik at det produktet blir maksimalt. Det klarer jeg virkelig ikke å se hvordan jeg skal gjøre det.
Tusen takk på forhånd!

Funksjonen [tex]ab^2c^3[/tex] har sitt maksimum når [tex]b=2a[/tex] og [tex]c=3a[/tex].

Generelt gitt denne typen flervariabel funksjon så er fremgangsmåten slik for å finne dens maksimale verdi:
1) Gitt en definisjonsmengde del summen på antall faktorer i funksjonen. Her har vi [tex]a*b*b*c*c*c[/tex], altså 6 faktorer. Derfor: [tex]\frac{35}{6}[/tex].
2) For at en flervariabel funksjon skal nå sin maksimale verdi må alle faktorer i funksjonen inneholde denne faktoren selv. For maksimal verdi er hver faktor i funksjonen et produkt av denne faktoren ([tex]\frac{35}6[/tex]) og sin eksponent.

Derfor vil funksjonen [tex]ab^2c^3[/tex] nå sin maksimale verdi når: [tex](1*\frac{35}6)^1*(2*\frac{35}6)^2*(3*\frac{35}6)^3[/tex]

Hvordan kom du frem til akkurat at [tex]b=2a[/tex] og [tex]c=3a[/tex], altså partiellderiverte du på noen måte?


Svaret ble rett da jeg løste det endelige likningssettet.

Gjest wrote:
Hvordan kom du frem til akkurat at [tex]b=2a[/tex] og [tex]c=3a[/tex], altså partiellderiverte du på noen måte?


Svaret ble rett da jeg løste det endelige likningssettet.

Er nok stygt redd for at jeg ikke kan være til stor hjelp der. Går vg3, og lærer vel ikke om partiell-derivering før enn på høyskole/universitet. Jeg vet ikke hvorfor flervariable funksjoner har sitt maksimum når f.eks.: [tex]ab^4c^8=a(4a)^4(8a)^8[/tex], det var bare noe jeg fant ut av ved en tilfeldighet en eller annen gang.

En har generelt kritisk punkt når tangent vektoren er parallell med normal vektoren til funksjonen. I dette tilfellet er det enkelt da det vi faktisk har en invers i utrykket for randen, og at utrykket ikke er komplisert (kan da bare substituere og partielle derivere som Janhaa har gjort).

Noen ganger så har vi ikke invers eller utrykket er for vanskelig, så da ønsker en å finne hvor normal vektoren "figuren" som representerer randen skal være parallell med normal vektoren til funksjonen en jobber med på en annen måte, fordi dette er de eneste punktene selve funksjonen en optimerer har et kritisk punkt (tenk vanlig funksjon)... dette er lagranges metode.

Husk at rand verdiene må sjekkes seperat, dvs når x = 35, y = 35 eller z = 35, og at singulære punkt må sjekkes seperat.

En har generelt kritisk punkt når tangent vektoren er ortogonal med normal vektoren til funksjonen. I dette tilfellet er det enkelt da det vi faktisk har en invers i utrykket for randen, og at utrykket ikke er komplisert (kan da bare substituere og partielle derivere som Janhaa har gjort).

Noen ganger så har vi ikke invers eller utrykket er for vanskelig, så da ønsker en å finne hvor normal vektoren "figuren" som representerer randen skal være parallell med normal vektoren til funksjonen en jobber med på en annen måte, fordi dette er de eneste punktene selve funksjonen en optimerer har et kritisk punkt (tenk vanlig funksjon)... dette er lagranges metode.

Husk at rand verdiene må sjekkes seperat, dvs når x = 35, y = 35 eller z = 35, og at singulære punkt må sjekkes seperat

pit wrote:En har generelt kritisk punkt når tangent vektoren er ortogonal med normal vektoren til funksjonen. I dette tilfellet er det enkelt da det vi faktisk har en invers i utrykket for randen, og at utrykket ikke er komplisert (kan da bare substituere og partielle derivere som Janhaa har gjort).

Noen ganger så har vi ikke invers eller utrykket er for vanskelig, så da ønsker en å finne hvor normal vektoren "figuren" som representerer randen skal være parallell med normal vektoren til funksjonen en jobber med på en annen måte, fordi dette er de eneste punktene selve funksjonen en optimerer har et kritisk punkt (tenk vanlig funksjon)... dette er lagranges metode.

Husk at rand verdiene må sjekkes seperat, dvs når x = 35, y = 35 eller z = 35, og at singulære punkt må sjekkes seperat

Jeg gjorde det Janhaa skrev opp, og prøvde å løse de to likningssettene jeg får ved å sette de to part.deriverte lik 0, mhp. a og c. Men jeg kommer ikke frem til det riktige svaret som Dolandyret har postet, altså at b = 2a og c = 3a, og at maksverdien er 35/6.

Jeg kommer ingen vei, men jeg fant jo dette:

[tex]\frac{df}{da}=c^3(a+c-35)(3a+c-35)[/tex]=0

[tex]\frac{df}{dc}=ac^2(3a+5c-105)(a+c-35)[/tex]=0

Fra den første får jeg:

[tex]a+c-35=0[/tex] og [tex]3a+c-35=0[/tex]

Løser jeg dette, så får jeg at [tex]a=0,c=35[/tex]

Fra den andre deriverte får jeg:

[tex]3a+5c-105=0[/tex] og [tex]a+c-35=0[/tex]

Denne gir meg a = 35 og c =0. Nå forstår jeg ingenting, hva gjør jeg feil?
Jeg har forresten ikke glemt den tredje faktoren, men den gir vel at a = 0 eller c = 0 i begge de deriverte.

Gjest wrote:Hei!
Jeg holder på med følgende oppgave:

Finn de tre verdiene [tex]a,b,c[/tex], med sum lik 35 slik at uttrykket [tex]ab^2c^3[/tex] er maksimalt.

Jeg ser virkelig ikke hvordan jeg skal klare å angripe denne oppgaven. Greit, så hva kan jeg lese ut av teksten? Jo:

[tex]a+b+c=35[/tex]

Men så gjelder det å uttrykke det slik at det produktet blir maksimalt. Det klarer jeg virkelig ikke å se hvordan jeg skal gjøre det.
Tusen takk på forhånd!

Er det ingen flere begrensninger, slik som at a,b,c>0?

Slik som det er nå kan man ved å velge c=35, og a=-b, få uttrykket til å gå mot uendelig ved å la [tex]b \to - \infty[/tex]

Gjest wrote:Jeg kommer ingen vei, men jeg fant jo dette:
[tex]\frac{df}{da}=c^3(a+c-35)(3a+c-35)[/tex]=0
[tex]\frac{df}{dc}=ac^2(3a+5c-105)(a+c-35)[/tex]=0
Fra den første får jeg:
[tex]a+c-35=0[/tex] og [tex]3a+c-35=0[/tex]
Løser jeg dette, så får jeg at [tex]a=0,c=35[/tex]
Fra den andre deriverte får jeg:
[tex]3a+5c-105=0[/tex] og [tex]a+c-35=0[/tex]
Denne gir meg a = 35 og c =0. Nå forstår jeg ingenting, hva gjør jeg feil?
Jeg har forresten ikke glemt den tredje faktoren, men den gir vel at a = 0 eller c = 0 i begge de deriverte.

[tex]\partial{f}/\partial{a} = 0[/tex]
som gir:
[tex]35=3a+c[/tex]
og
[tex]\partial{f}/\partial{c} = 0[/tex]
som gir:
[tex]105=3a+5c[/tex]
disse to likningen gir deg:
[tex]a=35/6[/tex]
og
[tex]b=35/3[/tex]
og
[tex]c=35/2[/tex]