matematikk.net

Sliter litt med en mekanikk oppgave.
Oppgaven er å finne deformasjonen til bjelken (vertikal forskyvning) i punkt C.

Kan hende jeg er helt på bærtur, men jeg gjorde i alle fall slik:
Satte $x=0$ i B og fant momentfunksjonen $M(x) = \frac{qL}{2}(L-x) + \frac{qx^2}{2} - \frac{qL}{2}x - \frac{qL}{2}(x-L)$
Integrerte $-\frac{M(x)}{EI}$ to ganger og fikk $-\frac{q}{EI}\left(\frac{12L^2x^2-24Lx^3+x^4}{24}\right)$
Satt inn $x=\frac{3}{2}L$ og fikk $\frac{261qL^4}{128EI}$. Svaret skal bli $\frac{qL^4}{48EI}$
Noen som har noen lure tips?

hva er svaret?

Gjest wrote:hva er svaret?

Det skrev jeg helt på slutten i det opprinnelige innlegget: $\frac{qL^4}{48EI}$ (rettet oppover så klart)
Glemte også å si at bøyestivheten er konstant.

Antar at opplageret i punkt B er et glidelager siden jeg ikke kan huske at vi drev på med statisk ubestemte systemer i mek1

Vertikal opplagerkraft i A og B må nødvendigvis være [tex]F_A = F_B = \frac{qL}{2}[/tex]. Lag et snitt mellom punkt A (x = 0) og punkt B, momentlikevekt om snittet vil da være gitt ved (med strekk i underkant av bjelken):

[tex]M(x) = \frac{qL}{2}x-\frac{qx^2}{2} = \frac{qLx}{2}\left(1-\frac{x}{L}\right)[/tex]

Bjelken differensialligning: [tex]M(x) = -EI\frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}[/tex], hvor [tex]w[/tex] er nedbøyning.

Integrerer én gang. Får:

[tex]\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = -\frac{q}{2EI}\left(\frac{1}{2}Lx^2-\frac{x^3}{3}\right) + C[/tex]

Nok en integrasjon:

[tex]w(x) = -\frac{q}{2EI}\left(\frac{1}{6}Lx^3-\frac{x^4}{12}\right)+Cx+D[/tex]

To randbetingelser: [tex]w(0) = w(L) = 0[/tex]

[tex]w(0) = D = 0[/tex]

[tex]w(L) = -\frac{q}{2EI}\left(\frac{L^4}{6}-\frac{L^4}{12}\right)+CL = 0 \ \Rightarrow \ C = \frac{q}{2EI}\cdot\frac{L^3}{12}[/tex]

Og vi får:

[tex]w(x) = -\frac{qLx^3}{12EI}\left(1-\frac{1}{2}\frac{x}{L}\right)+\frac{qL^3x}{24EI} = -\frac{qLx^3}{12EI}\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{L}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{L}{x}\right)^2\right][/tex]

Merk at dette uttrykket kun gjelder mellom punkt A og punkt B. Siden du har to leddlager kan det ikke overføres moment til bjelkeutstikkene. Det du derimot vet er at vinkelen som dannes mellom den nedbøyde bjelken og den opprinnelige posisjonen (en vannrett linje) må være lik på begge sider av opplager A (og B forsåvidt). Vinkelen [tex]\theta[/tex] i punkt A (x=0) er gitt som:

[tex]\theta = \left.\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0} = \left.-\frac{3qLx^2}{12EI}+\frac{2qx^3}{12EI}+\frac{qL^3}{24EI}\right|_{x=0} = \frac{qL^3}{24EI}[/tex]

Her er det også rimelig å anta at vinkelen er liten, altså kan man bruke approksimasjonen av sinus for små vinkler: [tex]\sin{\theta} \approx \theta[/tex]

Du får da at nedbøyningen i punkt C er gitt som: [tex]u = \theta \cdot \frac{L}{2} = \frac{qL^4}{48EI}[/tex]

Tusen takk for meget godt og utfyllende svar Zell