matematikk.net

Jeg vet at et lodd kun krysser likevektslinjen om man får to reelle løsninger (Dvs. at det under kvadratroten når man løser en andregradslikning må være større enn 0). Men jeg klarer ikke forstå hvorfor det er sånn! Noen som kan forklare?

Hei!

Det er vel heller slik at den kun vil krysse likevektslinjen dersom man får komplekse løsninger for andregradsligningen. Jeg skal prøve å forklare hvorfor.

Vi har en differensialligning på formen:
[tex]y'' + ay' + by = 0[/tex]

Dette er en andre ordens homogen lineær differensialligning med konstante koeffisienter, a og b.

En slik ligning har løsninger på formen, [tex]y = e^{rx}[/tex], der r er reelle eller komplekse tall.

Vi har da at [tex]y' = r\cdot e^{rx}[/tex] og [tex]y'' = r^2\cdot e^{rx}[/tex]. Setter vi disse inn i den originale ligningen så får vi:
[tex]r^2\cdot e^{rx}+ar\cdot e^{rx}+b\cdot e^{rx} = (r^2+ar+b)e^{rx} = 0[/tex]

Hvordan kan [tex](r^2 + ar + b)e^{rx}[/tex] alltid være lik 0? Jo, ved at [tex]r^2 + ar + b = 0[/tex]. Det får vi når r er løsningen til denne andregradsligningen, dvs. når [tex]r = -\frac{a}{2} \pm \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}[/tex].

Vi vil alltid få to røtter dersom [tex]a^2 - 4b \ne 0[/tex]

Den generelle løsningen til denne differensialligningen er da en lineær kombinasjon av disse to løsningene: [tex]y = c_1\cdot e^{r_1x} + c_2\cdot e^{r_2x}[/tex], der [tex]r_1[/tex] og [tex]r_2[/tex] er røttene fra andregradsligningen.

Hvis det finnes bare én rot, dvs. at [tex]a^2 - 4b = 0[/tex], så blir løsningen litt annerledes. Vi kan ta det etterpå, hvis du er interessert.

Hva skjer så dersom [tex]a^2 - 4b < 0[/tex]? Da får vi et negativt tall under kvadratroten. Dette vil gi komplekse røtter til andregradsligningen. Vi får da røtter på denne formen: [tex]r = -\frac{a}{2} \pm \frac{c\cdot i}{2}[/tex], der c er kvadratroten av absoluttverdien til [tex]a^2 - 4b[/tex] og [tex]i[/tex] er lik kvadratroten av [tex]-1[/tex].

Vi får da to løsninger for differensialligningen på formen: [tex]e^{(-\frac{a}{2}\pm \frac{c\cdot i}{2})x} = e^{-\frac{a}{2}x}\cdot e^{\pm \frac{c}{2}ix}[/tex]

Hvis du har lært litt om komplekse tall så vet du at [tex]e^{ix} = cos(x)+i\cdot sin(x)[/tex]

Løsningene kan derfor skrives slik:
[tex]y = e^{-\frac{a}{2}x}\cdot (cos(\frac{c}{2}x) \pm i\cdot sin(\frac{c}{2}x))[/tex], og den generelle løsningen slik:

[tex]y = c_1\cdot e^{-\frac{a}{2}x}(cos(\frac{c}{2}x)+i\cdot sin(\frac{c}{2}x)) + c_2\cdot e^{-\frac{a}{2}x}(cos(\frac{c}{2}x)-i\cdot sin(\frac{c}{2}x))[/tex]

For å få kun reelle tall, så kan man på kløktig vis velge to nye reelle konstanter [tex]A = \frac{1}{2}(c_1+c_2)[/tex] og [tex]B = \frac{1}{2}i(c_1-c_2)[/tex], og på den måten skrive om den generelle løsningen til:
[tex]y = e^{-\frac{a}{2}x}(Acos(\frac{c}{2}x)+Bsin(\frac{c}{2}x))[/tex]

Vi har da en generell løsning som kun inneholder reelle tall. Vi kan derfor se at når vi får komplekse løsninger på andregradsligningen så får vi også sinus og cosinus i løsningen på differensialligningen, og det er disse som gjør at det svinger om likevektslinjen.

Jeg håper dette var forståelig. Du får gi beskjed om du vil ha forklaring på hva som skjer når det finnes bare én rot for andregradsligningen.