matematikk.net

"En funksjon f er gitt ved f(x)=x^n. Bruk induksjon og derivasjonsregel for produkt til å bevise at P(n):f'(x)=xn^(n-1)".
Hvordan gjør jeg dette?

Viser base case: [tex]f(x) = x^{1} => f^{'}(x) = 1x^{0} = 1[/tex] (1)

[tex]\lim_{h\rightarrow \infty } \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow \infty } \frac{(x+h) -x }{h} = \lim_{h\rightarrow \infty } \frac{h}{h} = 1[/tex]


Anta at [tex]f(x)= x^k => f^{'}(x) = kx^{k-1}[/tex] (2)

Må da vise at:

[tex]f(x)= x^{k+1} => f^{'}(x) = (k+1)x^{k}[/tex]

Merk at:
[tex]f(x)= x^{k+1} = xx^k[/tex]

Ved å bruke produkt regelen for derivasjon, (1) og (2) ser vi:

[tex]f(x)= x^{k+1} = xx^k => f^{'}(x) = x^{'}x^k + x(x^k)^{'} = x^k + x(kx^{k-1}) )= x^k + kx^k = (k+1)x^k[/tex]

OBS

[tex]\lim_{h\rightarrow 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0 } \frac{(x+h) -x }{h} = \lim_{h\rightarrow \infty } \frac{h}{h} = 1[/tex]

[tex]\lim_{h\rightarrow 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0 } \frac{(x+h) -x }{h} = \lim_{h\rightarrow 0 } \frac{h}{h} = 1[/tex]