matematikk.net

Hei, hvordan løser jeg denne:
La T: R^3 --> R^2 være lineær avbildning

T(x,y,z) = (x+y, x-y+z)

Finn standardmatrisen.

Siden vi har en transformasjon [tex]T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] så må matrisen ha dimensjoner 2x3.

Vi har at:
[tex]\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21}\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} a_{13} \\ a_{23}\end{bmatrix}[/tex]

La oss benytte standard basis for [tex]\mathbb{R}^3[/tex]: [tex]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}[/tex],[tex]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}[/tex] og [tex]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}[/tex]

Da kan vi finne [tex]a_{ij}[/tex] ved å se på hvordan transformasjonen virker på basisvektorene.

[tex]T(1,0,0) = (1+0,1-0+0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}[/tex]

Her er altså x=1, y=0 og z=0. Ser du at dette medfører at [tex]\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}[/tex]?

Fortsetter med de to andre basisvektorene og får:
[tex]T(0,1,0) = (0+1,0-1+0) = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]T(0,0,1) = (0+0,0-0+1) = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}[/tex]

Vi har derfor at:
[tex]\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}[/tex]