matematikk.net

Hei hei

Jeg har noen spørsmål om en induksjonsbevis-oppgave.

(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/4)...(1-1/n)(1-1/(n+1))=1/(n+1)
Bevis dette ved induksjon.

Jeg har sett på to forskjellige løsningsforslag, begge setter n=1 og gir da at HS og VS er lik 1/2.
Det jeg ikke skjønner er at HS er (1-1/n)(1-1/(n+1)) og om vi da setter inn n=1 får vi null..?
I løsningsforslagene ser det ut som de har oversett leddet: (1-1/n) - kan man det? Hvorfor kan man det?!?!?

Håper på svar, og takk for all hjelp jeg får på denne siden

Først så vil jeg bare si at induksjon ikke er i nærheten av å være den enkleste metoden å bruke her, se for eksempel
\[\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac13\right)\left(1-\frac14\right)\dotsb\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\dotsb\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n}{n+1}\]
hvor hver teller strykes med forrige nevner (som i $\frac{1}{\cancel{2}}\cdot\frac{\cancel{2}}{3}$), slik at vi står igjen med $\frac{1}{n+1}$.



Alternativt kan vi bruke induksjon. Det venstresiden forteller oss, er at vi skal gange sammen ledd på formen $\left(1-\frac12\right),\left(1-\frac13\right), \left(1-\frac14\right)$ osv, helt til vi kommer til $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$. Vi starter med $\left(1-\frac12\right)$, og øker tallet i nevneren for hvert ledd helt til vi kommer til $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$. La oss prøve dette når $n=3$:

Vi starter med $\left(1-\frac12\right)$, og skal slutte når vi kommer til $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$, og siden $n=3$, skal vi altså stoppe når vi kommer til $\left(1-\frac14\right)$. Derfor er høyresiden lik $\left(1-\frac12\right)\cdot\left(1-\frac13\right)\cdot\left(1-\frac14\right)$ når $n=3$. Enig?

Men hva skjer så når $n=1$? Da skal vi som over starte med leddet $\left(1-\frac12\right)$, og stoppe når vi kommer til leddet $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdot$, men når $n=1$ er dette siste leddet også $\left(1-\frac12\right)\cdot$, det samme som leddet vi startet med! Så når $n=1$ blir høyresiden bare $\left(1-\frac12\right)\cdot$. Det ser kanskje ut som vi hopper over leddet $\left(1-\frac1n\right)\cdot$, og ja, vi gjør forsåvidt det: når $n$ er så liten som $1$, så får vi ikke nok ledd med på høyresiden til at vi kan ha det med. (Gir det mening? Hvis ikke så er det bare si ifra, så skal jeg prøve å utdype litt til ).

Hei, og takk for svar

Ja, det ga mening - alt utenom hvorfor vi kan hoppe over (1-1/n)-leddet når n er så liten som 1? Det skjønte jeg ikke.
Det står også i oppgaven at n kan være alle naturlige tall.

Man hopper ikke over noe i det hele tatt. Når n=1 så er det bare én faktor. Kanskje det hjelper å se på alle tilfellene n=1,2,3?

n=1
Venstresiden:
$\Big(1-\frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}$

Høyresiden:
$\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

n=2
Venstresiden:
$\Big(1-\frac{1}{2}\Big)\Big(1-\frac{1}{3}\Big) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Høyresiden:
$\frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$

n=3
Venstresiden:
$\Big(1-\frac{1}{2}\Big)\Big(1-\frac{1}{3}\Big)\Big(1-\frac{1}{4}\Big) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
Høyresiden:
$\frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}$