matematikk.net

I quaternion group (Q)
er gruppetabellen som vist under
vel den er forskyvd mye...
men dere som kan dette, vet hva jeg spør om.


1 a.....a2 a3 b.....ab...a2b a3b
1 1 a a2 a3 b ab a2b a3b
a a a2 a3 1 ab a2b a3b b
a2 a2 a3 1 a a2b a3b b ab
a3 a3 1 a a2 a3b b ab a2b
b b a3b a2b ab a2 a 1 a3
ab ab b a3b a2b a3 a2 a 1
a2b a2b ab b a3b 1 a3 a2 a
a3b a3b a2b ab b a 1 a3 a2

ganske enkelt spm, hvorfor er |b| = 4 ?

Pga at den forekommer 4 ganger på "hver side"?
Kan det vises via gcd?

Orker ikke prøve å tolke den multiplikasjonstabellen, men tradisjonelt kaller vi guppegeneratorene til quaterniongruppen for [tex]\{i,j,k\}[/tex], og vi har relasjonene [tex]i^2=j^2=k^2=ijk=-1[/tex]. Relasjonene medfører at [tex]i^4=j^4=k^4=1[/tex].

Definisjonen av ordenen til et element er antallet ganger du må multiplisere elementet med seg selv for å få enhetselementet. I quaterniongruppen er enhetselementet [tex]1[/tex]. Vi har derfor at både i,j og k har orden 4.

Edit:
Etter å ha sett litt på tabellen så ser jeg at det er benyttet en alternativ, men ekvivalent, definisjon der man har to generatorer [tex]\{a,b\}[/tex] som oppfyller relasjonene [tex]ba = a^3b[/tex], [tex]a^2=b^2[/tex] og [tex]a^4=1[/tex]

Dette medfører at [tex]b^4 = b^2b^2 = a^2a^2 = a^4 = 1[/tex], som betyr at ordenen til b er 4.

sbra wrote:Orker ikke prøve å tolke den multiplikasjonstabellen, men tradisjonelt kaller vi guppegeneratorene til quaterniongruppen for [tex]\{i,j,k\}[/tex], og vi har relasjonene [tex]i^2=j^2=k^2=ijk=-1[/tex]. Relasjonene medfører at [tex]i^4=j^4=k^4=1[/tex].
Definisjonen av ordenen til et element er antallet ganger du må multiplisere elementet med seg selv for å få enhetselementet. I quaterniongruppen er enhetselementet [tex]1[/tex]. Vi har derfor at både i,j og k har orden 4.
Edit:
Etter å ha sett litt på tabellen så ser jeg at det er benyttet en alternativ, men ekvivalent, definisjon der man har to generatorer [tex]\{a,b\}[/tex] som oppfyller relasjonene [tex]ba = a^3b[/tex], [tex]a^2=b^2[/tex] og [tex]a^4=1[/tex]
Dette medfører at [tex]b^4 = b^2b^2 = a^2a^2 = a^4 = 1[/tex], som betyr at ordenen til b er 4.

takker og bukker - veldig oppklarende !