matematikk.net

La gruppehomomorfien [tex]\,\,\phi:\mathbb{Z} \rightarrow S_{10}\,\,[/tex]være gitt ved at
[tex]\phi(1)=(1, 3, 5, 7, 9)(2, 4, 6, 8)\,\,.[/tex]Er 2010 et element i kjernen til [tex]\phi[/tex]?

Hint?
Noen forslag her?

Siden [tex]\phi(1)[/tex] ikke er identitetspermutasjonen så er gruppen [tex](\mathbb{Z},+)[/tex]. Vi må da ha at [tex]\phi(0)[/tex] er lik identitetspermutasjonen i [tex]S_{10}[/tex]

Kjernen til homomorfien er de elementer i [tex](\mathbb{Z},+)[/tex] som gir identitetspermutasjonen i [tex]S_{10}[/tex]

Ser du hva ordenen til elementet [tex](1,3,5,7,9)(2,4,6,8)[/tex] er i [tex]S_{10}[/tex]?

Da vil [tex]\phi(|\phi(1)|) = (1)[/tex], hvis vi kaller identitetspermutasjonen for [tex](1)[/tex].

Vi har da også at [tex]\phi(|\phi(1)| + |\phi(1)|) = (1)[/tex]. Faktisk vil hver eneste multippel av [tex]|\phi(1)|[/tex] gi identitetspermutasjonen.

Hjelper dette deg på vei?

hva er egentlig en homorfi?

En gruppehomomorfi er en mapping fra en gruppe A til en gruppe B,[tex]\phi: A \rightarrow B[/tex],
som bevarer følgende struktur:
[tex]\phi(a_1 * a_2) = \phi(a_1) \cdot \phi(a_2)[/tex], der [tex]*[/tex] er gruppeoperasjonen i A, og [tex]\cdot[/tex] er gruppeoperasjonen i B, og [tex]a_1,a_2 \in A[/tex] og [tex]\phi(a_1),\phi(a_2) \in B[/tex]

sbra wrote:Siden [tex]\phi(1)[/tex] ikke er identitetspermutasjonen så er gruppen [tex](\mathbb{Z},+)[/tex]. Vi må da ha at [tex]\phi(0)[/tex] er lik identitetspermutasjonen i [tex]S_{10}[/tex]
Kjernen til homomorfien er de elementer i [tex](\mathbb{Z},+)[/tex] som gir identitetspermutasjonen i [tex]S_{10}[/tex]
Ser du hva ordenen til elementet [tex](1,3,5,7,9)(2,4,6,8)[/tex] er i [tex]S_{10}[/tex]?
Da vil [tex]\phi(|\phi(1)|) = (1)[/tex], hvis vi kaller identitetspermutasjonen for [tex](1)[/tex].
Vi har da også at [tex]\phi(|\phi(1)| + |\phi(1)|) = (1)[/tex]. Faktisk vil hver eneste multippel av [tex]|\phi(1)|[/tex] gi identitetspermutasjonen.
Hjelper dette deg på vei?

Sliter litt fortsatt, men ordenen til elementene i symmetrigruppa 10 er:
EDIT:
[tex]\left |\frac{S_{10}}{\text lcm(5, 4)}\right| = 10!/20 = 1811440[/tex]

der elementene er disjunkte og lcm(5, 4) = 20...

Er forresten (10!/20) lik indeksen også?

Hvis du lar H være subgruppen av [tex]S_{10}[/tex] som er generert av permutasjonen [tex](1,3,5,7,9)(2,4,6,8)[/tex], så er indeksen til [tex]|S_{10} : H| = \frac{10!}{20}[/tex], så det stemmer.

Men hva er da ordenen til elementet (1,3,5,7,9)(2,4,6,8), dvs. ordenen til gruppa H?

sbra wrote:Hvis du lar H være subgruppen av [tex]S_{10}[/tex] som er generert av permutasjonen [tex](1,3,5,7,9)(2,4,6,8)[/tex], så er indeksen til [tex]|S_{10} : H| = \frac{10!}{20}[/tex], så det stemmer.
Men hva er da ordenen til elementet (1,3,5,7,9)(2,4,6,8), dvs. ordenen til gruppa H?

Siden elementene er disjunkte, er ordenen lik lcm(5, 4) = 20
Altså |H| = 20

Jepp, og da vet du at [tex]\phi(20\cdot n) = (1)[/tex], dvs. kun multipler av 20 gir identitetspermutasjonen, som igjen betyr at kun multipler av 20 er i kjernen til homomorfien.

sbra wrote:Jepp, og da vet du at [tex]\phi(20\cdot n) = (1)[/tex], dvs. kun multipler av 20 gir identitetspermutasjonen, som igjen betyr at kun multipler av 20 er i kjernen til homomorfien.

Nydelig forklart, thanks!

Ingen årsak