matematikk.net

a)
hvordan vises

[tex]\mathbb{Q}(i\sqrt{2}+i)= \mathbb{Q}(i\sqrt{2}, i)[/tex]

er veien å gå om kompleks konjugert eller invers.
\\\\\\\\\\\\\\\\\
b)
for å vise at [tex]\,p(x)=x^3-x^2-1\,[/tex]i [tex]\,\mathbb{Z_5}[\alpha]\,[/tex]er et irredusibelt polynom i ringen,
kan jeg gå via (mod 5), dvs:
[tex]\,p(x)=x^3-6x^2-6\,[/tex]
og bruke Eisenstein kriterium for p = 2 eller p = 3?
\\\\\\\\\\\\\\\
La [tex]\,F= \mathbb{Z_5}[\alpha]/ <x^3-x^2-1>= \mathbb{Z_3}[\alpha]\,[/tex]
der [tex]\alpha=x\, + <x^3-x^2-1>.\,[/tex]Hvorfor er F en kropp? Hvor mange elementer har F?
Angi en basis for F over i [tex]\,\mathbb{Z_5}.[/tex]

Janhaa wrote:a)
hvordan vises
[tex]\mathbb{Q}(i\sqrt{2}+i)= \mathbb{Q}(i\sqrt{2}, i)[/tex]
er veien å gå om kompleks konjugert eller invers.

a) Husk at per def. er $\mathbb{Q}(A)$ den minste kroppen som inneholder $\mathbb{Q}$ og A.

$\mathbb{Q}(i\sqrt{2}+i)\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$: Siden $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ inneholder både $\sqrt{2}$ og $i$, må den, fordi den er en kropp, inneholde $i\sqrt{2}$, og $i\sqrt{2}+i$.

$\mathbb{Q}(i\sqrt{2}+i)\supseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$: Siden $i\sqrt{2}+i \in \mathbb{Q}(i\sqrt{2}+i)$, må $(i\sqrt{2}+i )^2=-3-2\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(i\sqrt{2}+i)$, og derfor må $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(i\sqrt{2}+i)$. På lignende vis kan du vise at også $i \in\mathbb{Q}(i\sqrt{2}+i)$.

Dermed må $\mathbb{Q}(i\sqrt{2}+i)= \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$.

På samme måte kan du enkelt vise at $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)=\mathbb{Q}(i\sqrt{2},i)$

b) $f(x):= x^3-x^2-1$ er irredusibelt i $Z_5[x]$ fordi $f(0)=4$, $f(1)=4$, $f(2)=3-4-1=3$, $f(3)=2-4-1=2$, $f(4)=f(-1)=-1-1-1=2$, mod(5), så det fins ingen nullpunkt. Du kan ikke bruke Eisenstein her. Det går kun når koeffisientene er i $\mathbb{Z}$.

$F$ er en kropp fordi idealet er maksimalt, siden polynomet er irredusibelt. En basis for $F$ blir $\{1,\alpha, \alpha^2\}$, så $F=\{a+b\alpha+c\alpha^2|a,b,c\in\mathbb{Z}_5\}$. Antall elementer blir derfor $5^3$ .

Takk plutarco!

i)
Hvorfor kan jeg ikke bruke Eisenstein her? Du sier: "Det går kun når koeffisientene er i Z"
er de ikke i [tex]\mathbb{Z_5[x]}[/tex]?
Ellers er det greit å bruke innsettingsmetoden og sjekke røttene!

ii)
for ordensskyld, det under er kroppsutvidelse (field extension)?
[tex]\mathbb{Q}(i\sqrt{2}+i)= \mathbb{Q}(i\sqrt{2}, i)[/tex]

iii)
i deloppg c) skal jeg uttrykke [tex]\,\alpha^5, \alpha^4 \,\,og\,\,\frac{1}{\alpha +1}\,\,[/tex]vha av basisen:[tex]\{1, \alpha, \alpha^2\}[/tex]
blir dette korrekt:
[tex]\alpha^5=2\alpha^2-\alpha-1[/tex]
og
[tex]\alpha^4=\alpha^2-\alpha-1[/tex]
og
[tex]\frac{1}{\alpha +1}\,\,=\,\frac{-2}{\alpha^2-\alpha-2}[/tex]?

iv)
til slutt skal jeg avgjøre om [tex]\,x^3-x^2-1\,[/tex]er (ir)redusibelt i [tex]\,F[x][/tex],
der
[tex]F=\mathbb{Z_5[\alpha]}/<x^3-x^2-1>=Z_3(\alpha)[/tex]
der
[tex]\alpha = x\, + <x^3-x^2-1>[/tex]

Betyr dette om:
[tex]\,x^3-x^2-1\,[/tex]er (ir)redusibelt i [tex]\,\mathbb{Z_3[x]}[/tex]?

Dvs: [tex]\,f=x^3-4x^2-4\,\pmod{3}[/tex]
er irredusibelt i [tex]\,F[x][/tex], vha Eisenstein kriterium for p=2?
\\\\\\\\\\\\
Edit.

i)
Hvorfor kan jeg ikke bruke Eisenstein her? Du sier: "Det går kun når koeffisientene er i Z"
er de ikke i [tex]\mathbb{Z_5[x]}[/tex]?
Ellers er det greit å bruke innsettingsmetoden og sjekke røttene!


Den enkle formen Eisensteins kriterium er formulert på gjelder kun når polynomet har koeffisienter i Z. Det fins en generalisering av kriteriet som gjelder for koeffisienter i heltallsdomener, men såvidt jeg husker fra Fraleigh er det ikke forumlert slik der(?)

ii)
for ordensskyld, det under er kroppsutvidelse (field extension)?
[tex]\mathbb{Q}(i\sqrt{2}+i)= \mathbb{Q}(i\sqrt{2}, i)[/tex]


Det er kroppsutvidelser det her er snakk om, såvidt jeg tolket det i hvertfall. Mente du noe annet?

iii)
i deloppg c) skal jeg uttrykke [tex]\,\alpha^5, \alpha^4 \,\,og\,\,\frac{1}{\alpha +1}\,\,[/tex]vha av basisen:[tex]\{1, \alpha, \alpha^2\}[/tex]
blir dette korrekt:
[tex]\alpha^5=2\alpha^2-\alpha-1[/tex]
og
[tex]\alpha^4=\alpha^2-\alpha-1[/tex]
og
[tex]\frac{1}{\alpha +1}\,\,=\,\frac{-2}{\alpha^2-\alpha-2}[/tex]?

$\alpha^5=\alpha^2 (\alpha^3)= \alpha^2 (\alpha^2+1)=\alpha (\alpha^3)+\alpha^2 = \alpha (\alpha^2+1)+\alpha^2=\alpha^3+\alpha+\alpha^2=\alpha^2+1+\alpha+\alpha^2=2\alpha^2+\alpha+1$. Du bruker bare at $\alpha^3-\alpha^2-1=0$ gjentatte ganger.

Anta at $\frac{1}{\alpha+1}=a+b\alpha+c\alpha^2$. Da blir $1=a\alpha+b\alpha^2+c\alpha^3+a+b\alpha+c\alpha^2=a+(a+b)\alpha+(b+c)\alpha^2+c(\alpha^2+1)=(a+c)+(a+b)\alpha+(b+2c)\alpha^2$. Sammenligning av koeffisienter gir dermed at $a+c=1$, $a+b=0$, $b+2c=0$. Fra andre likning må $a=-b$, og innsatt i første blir $c-b=1$. Legg den til den tredje så får vi $3c=1$. Dermed må $c=2$, og $b=1$, $a=4$.

Det følger at $\frac{1}{\alpha+1}=4+\alpha+2\alpha^2$ (edit: rettet opp en liten regnefeil)

iv)
til slutt skal jeg avgjøre om [tex]\,x^3-x^2-1\,[/tex]er (ir)redusibelt i [tex]\,F[x][/tex],
der
[tex]F=\mathbb{Z_5[\alpha]}/<x^3-x^2-1>=Z_3(\alpha)[/tex]
der
[tex]\alpha = x\, + <x^3-x^2-1>[/tex]

Betyr dette om:
[tex]\,x^3-x^2-1\,[/tex]er (ir)redusibelt i [tex]\,\mathbb{Z_3[x]}[/tex]?

Dvs: [tex]\,f=x^3-4x^2-4\,\pmod{3}[/tex]
er irredusibelt i [tex]\,F[x][/tex], vha Eisenstein kriterium for p=2?


Merk at $(x-\alpha)(x^2+(\alpha-1)x+(\alpha^2-\alpha))=x^3-x^2-1$, så polynomet er redusibelt over F. (du kan sjekke dette ved å multiplisere ut og bruke at $\alpha^3-\alpha^2-1=0$ )

Setter pris på grundige tilbakemeldinger, takk igjen!!
i) OK

ii) OK

iii)
på [tex]\,\alpha^5\,[/tex]og[tex]\,\alpha^4\,[/tex]gjorde jeg "bare" slurvefeil, som forplanta seg!
[tex]\,\frac{1}{1+\alpha}\,[/tex]synes jeg var litt kjip - ved sammenlikning av koeffisienter brukes (mod 5)
Trur neppe jeg hadde "catcha" den på eksamen!

iv)
faktoriseringa her er ganske fiffig, men ser det jo når du skriver.
\\\\\
dette er et skikkelig modningsfag!!

Janhaa wrote:
[tex]F=\mathbb{Z_5[\alpha]}/<x^3-x^2-1>=Z_3(\alpha)[/tex]
der
[tex]\alpha = x\, + <x^3-x^2-1>[/tex]

Et spørsmål:

Bør det ikke her stå [tex]F=\mathbb{Z_5}[x]/<x^3-x^2-1>\simeq \mathbb{Z}_5(\alpha)[/tex] ?

Hvor får du $\mathbb{Z}_3$ fra ?

F er vel isomorf med kroppsutvidelsen av $\mathbb{Z}_5$ der vi har lagt til $\alpha$.

plutarco wrote:

Janhaa wrote: [tex]F=\mathbb{Z_5[\alpha]}/<x^3-x^2-1>=Z_3(\alpha)[/tex]
der
[tex]\alpha = x\, + <x^3-x^2-1>[/tex]

Et spørsmål:
Bør det ikke her stå [tex]F=\mathbb{Z_5}[x]/<x^3-x^2-1>\simeq \mathbb{Z}_5(\alpha)[/tex] ?
Hvor får du $\mathbb{Z}_3$ fra ?
F er vel isomorf med kroppsutvidelsen av $\mathbb{Z}_5$ der vi har lagt til $\alpha$.

sjekk eksamensoppgava under, oppg nr 6

Må vel være en skrivefeil i eksamenssettet?

plutarco wrote:Må vel være en skrivefeil i eksamenssettet?

ja, enig-det må være:

[tex]F=\mathbb{Z_5[x]}/<x^3-x^2-1>=Z_5(\alpha)[/tex]