matematikk.net

Hei, jeg sitter fast (som alltid). Prøver å løse denne oppgaven, men får det rett og slett ikke til. Har sett på YouTube, diverse nettsider, forelesningsnotater, men er ingenting som forklarer løsningen på denne.

[tex]\int x^{3}(\sqrt{x^{2}+4})[/tex] dx

Gjest wrote:Hei, jeg sitter fast (som alltid). Prøver å løse denne oppgaven, men får det rett og slett ikke til. Har sett på YouTube, diverse nettsider, forelesningsnotater, men er ingenting som forklarer løsningen på denne.

[tex]\int x^{3}(\sqrt{x^{2}+4})[/tex] dx

Har ikke tid til å løse hele akkurat nå, men bruk substitusjonen [tex]u=x^2[/tex] hvor du da får [tex]dx=\frac{du}{2x}[/tex]

Skal prøve!

Dolandyret wrote:

Gjest wrote:Hei, jeg sitter fast (som alltid). Prøver å løse denne oppgaven, men får det rett og slett ikke til. Har sett på YouTube, diverse nettsider, forelesningsnotater, men er ingenting som forklarer løsningen på denne.

[tex]\int x^{3}(\sqrt{x^{2}+4})[/tex] dx

Har ikke tid til å løse hele akkurat nå, men bruk substitusjonen [tex]u=x^2[/tex] hvor du da får [tex]dx=\frac{du}{2x}[/tex]

Får det ikke til, rett og slett. Har aldri løst integraler med røtter av en parentes.

Hei,

Som ble sagt fra Dolandyret er det lurt å starte med substitusjon her:

[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx[/tex]

Bruk [tex]u = x^2[/tex], da kan du skrive om integralet slik:

[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du[/tex].

Herfra må du bruke delvis integrasjon, altså

[tex]\int{ab'} = ab - \int{a'b}[/tex].

Sett [tex]a = u[/tex], slik at [tex]a' = 1[/tex], og
[tex]b' = \sqrt{u+4}[/tex], slik at [tex]b = \frac{2}{3}(u+4)^{3/2}[/tex]

da har vi


[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{2} \frac{2}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{1}{2}\int{\frac{2}{3}(u+4)^{3/2}}du[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{2}{15}(u+4)^{5/2} + C[/tex]

Tok med integrasjonskonstanten nå, siden det ikke er flere integraler igjen, den burde forsåvidt vært med hele tiden.
Utrykket kan så faktoriseres litt, ved å sette [tex]\frac{1}{15}(u+4)^{3/2}[/tex] utenfor parantesen, og så sette tilbake x istedet for u, og du ender med

[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx = \frac{1}{15}(x^2 +4)^{3/2}(3x^2- 8) + C[/tex]

madfro wrote:Hei,

Som ble sagt fra Dolandyret er det lurt å starte med substitusjon her:

[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx[/tex]

Bruk [tex]u = x^2[/tex], da kan du skrive om integralet slik:

[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du[/tex].

Herfra må du bruke delvis integrasjon, altså

[tex]\int{ab'} = ab - \int{a'b}[/tex].

Sett [tex]a = u[/tex], slik at [tex]a' = 1[/tex], og
[tex]b' = \sqrt{u+4}[/tex], slik at [tex]b = \frac{2}{3}(u+4)^{3/2}[/tex]

da har vi


[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{2} \frac{2}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{1}{2}\int{\frac{2}{3}(u+4)^{3/2}}du[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{2}{15}(u+4)^{5/2} + C[/tex]

Tok med integrasjonskonstanten nå, siden det ikke er flere integraler igjen, den burde forsåvidt vært med hele tiden.
Utrykket kan så faktoriseres litt, ved å sette [tex]\frac{1}{15}(u+4)^{3/2}[/tex] utenfor parantesen, og så sette tilbake x istedet for u, og du ender med

[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx = \frac{1}{15}(x^2 +4)^{3/2}(3x^2- 8) + C[/tex]

Tusen takk!!!
men bare et spm: hvorfor valgte du u=x^2 og ikke u= x^2+4 ?

Fordi det gjør integrasjonen lettere. Med [tex]u=x^2[/tex] får vi trikset mye med begge faktorene, det gjør vi ikke like godt med [tex]u=x^2+4[/tex].

Med [tex]u=x^2+4[/tex] får vi
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}} \ dx=\frac{1}{2}\int{(u-4)\sqrt{u} \ du}[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\int{u^{3/2}-4u^{1/2} \ du}[/tex]

Har erfart at mange røtter integraler lar seg løse ved å substituere alt under rottegnet selvom det ser ut som om det ikke funker.